Funzione con valore assoluto e logaritmo
Salve a tutti, ho la seguente funzione:
\(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{|log(x+1)|-3 } \)
Calcolo del dominio, radice cubica non ci sono problemi.
L'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
\(\displaystyle DomF= ]-1,+inf[ \)
Ma c'è anche il valore assoluto, come lo considero in questo caso?
Pensavo di dividere la funzione in due parti:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 }====>x\geq 0 \\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 }===>x<0 \end{cases} \)
La prima funzione è definita in: \(\displaystyle [0,+inf) \)
La seconda funzione è definita in: \(\displaystyle ]-1,0) \)
Dove sto sbagliando?
\(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{|log(x+1)|-3 } \)
Calcolo del dominio, radice cubica non ci sono problemi.
L'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
\(\displaystyle DomF= ]-1,+inf[ \)
Ma c'è anche il valore assoluto, come lo considero in questo caso?
Pensavo di dividere la funzione in due parti:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 }====>x\geq 0 \\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 }===>x<0 \end{cases} \)
La prima funzione è definita in: \(\displaystyle [0,+inf) \)
La seconda funzione è definita in: \(\displaystyle ]-1,0) \)
Dove sto sbagliando?
Risposte
Ciao angelok90,
Perché dici che stai sbagliando?
Dalla definizione di modulo si ha:
$|log(x + 1)| := {(log(x + 1) \text{ se } log(x + 1) \ge 0),(- log(x + 1) \text{ se } log(x + 1) < 0):}$
e $log(x + 1) \ge 0 \implies log(x + 1) \ge log 1 \implies x \ge 0 $, per cui:
$|log(x + 1)| := {(log(x + 1) \text{ se } x \ge 0),(- log(x + 1) \text{ se } x < 0):}$
Quindi si ha:
[tex]\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 } \text{ se } x \in [0, +\infty)\\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 } \text{ se } x \in (-1, 0) \end{cases}[/tex]
Perché dici che stai sbagliando?
Dalla definizione di modulo si ha:
$|log(x + 1)| := {(log(x + 1) \text{ se } log(x + 1) \ge 0),(- log(x + 1) \text{ se } log(x + 1) < 0):}$
e $log(x + 1) \ge 0 \implies log(x + 1) \ge log 1 \implies x \ge 0 $, per cui:
$|log(x + 1)| := {(log(x + 1) \text{ se } x \ge 0),(- log(x + 1) \text{ se } x < 0):}$
Quindi si ha:
[tex]\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 } \text{ se } x \in [0, +\infty)\\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 } \text{ se } x \in (-1, 0) \end{cases}[/tex]
Ciao pilloeffe, grazie di aver risposto. 
Uno dei punti dell'esercizio dice:
Dire in quali punti del suo dominio f non è derivabile e precisare la natura di tali punti.
Quindi debbo verificare la condizione di derivabilità, tramite il rapporto incrementale, corretto?
I punti che debbo verificare sono: \(\displaystyle -1^+,0 \).
Ma se faccio il rapporto incrementale, ad esempio su \(\displaystyle x_0=0 \), non so come uscirne un risultato,
ottengo una cosa del genere:
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=
\lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{\sqrt[3]{log(h+1)-3}-\sqrt[3]{log(1)-3}}{h}} \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=
\lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{\sqrt[3]{-log(h+1)-3}-\sqrt[3]{-log(1)-3}}{h}} \)
Invece su: \(\displaystyle x_0=-1\) non posso fare il rapporto incrementale, perché non posso fare il limite sinistro, quindi posso dire che non è derivabile?
Uno dei punti dell'esercizio dice:
Dire in quali punti del suo dominio f non è derivabile e precisare la natura di tali punti.
Quindi debbo verificare la condizione di derivabilità, tramite il rapporto incrementale, corretto?
I punti che debbo verificare sono: \(\displaystyle -1^+,0 \).
Ma se faccio il rapporto incrementale, ad esempio su \(\displaystyle x_0=0 \), non so come uscirne un risultato,
ottengo una cosa del genere:
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=
\lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{\sqrt[3]{log(h+1)-3}-\sqrt[3]{log(1)-3}}{h}} \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=
\lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{\sqrt[3]{-log(h+1)-3}-\sqrt[3]{-log(1)-3}}{h}} \)
Invece su: \(\displaystyle x_0=-1\) non posso fare il rapporto incrementale, perché non posso fare il limite sinistro, quindi posso dire che non è derivabile?
Ciao angelok90,
Ora non ho molto tempo, i bimbi mi stanno facendo pressing...
Per quanto riguarda il punto $-1$ direi che non ci siano dubbi... Per quanto riguarda invece il punto $x_0 = 0$ quei due limiti che hai scritto sono meno "impestati" di quel che sembrano. Prova a risolverli razionalizzando al contrario, facendo uso della ben nota relazione $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ove, nel caso del primo limite (il secondo è analogo), [tex]a := \sqrt[3]{log(h+1)-3}[/tex] e [tex]b := \sqrt[3]{-3}[/tex]: moltiplica numeratore e denominatore per $(a^2 + ab + b^2)$ e dovresti riuscire a risolvere la forma indeterminata $frac{0}{0}$ ...
Ora non ho molto tempo, i bimbi mi stanno facendo pressing...
Per quanto riguarda il punto $-1$ direi che non ci siano dubbi... Per quanto riguarda invece il punto $x_0 = 0$ quei due limiti che hai scritto sono meno "impestati" di quel che sembrano. Prova a risolverli razionalizzando al contrario, facendo uso della ben nota relazione $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ove, nel caso del primo limite (il secondo è analogo), [tex]a := \sqrt[3]{log(h+1)-3}[/tex] e [tex]b := \sqrt[3]{-3}[/tex]: moltiplica numeratore e denominatore per $(a^2 + ab + b^2)$ e dovresti riuscire a risolvere la forma indeterminata $frac{0}{0}$ ...
"pilloeffe":Ahah, marcatura a uomo.
Ora non ho molto tempo, i bimbi mi stanno facendo pressing...
Non ti preoccupare, posso aspettare.
Quindi posso dire che \(\displaystyle "-1" \) è un punto non derivabile.
"pilloeffe":
quei due limiti che hai scritto sono meno "impestati" di quel che sembrano.
Avevo pensato una cosa del genere
\(\displaystyle \left (\sqrt[3]{log(h+1)-3}-\sqrt[3]{log(1)-3}\right )\\*
\left (\sqrt[3]{(log(h+1)-3)^2}+\left (\sqrt[3]{log(h+1)-3}*\sqrt[3]{log(1)-3}\right )+\sqrt[3]{(log(1)-3)^2}\right )
\)
Usiamo un attimo wolframe, ogni tanto
:https://www.wolframalpha.com/input/?i=((log(x+%2B+1)+-+3)%5E(1%2F3)+-+(-3)%5E(1%2F3))*((log(x+%2B+1)+-+3)%5E(2%2F3)%2B(-3)%5E(1%2F3)(log(x+%2B+1)+-+3)%5E(1%2F3)%2B+(-3)%5E(2%2F3))
Da come risultato: log(h+1)
Quindi veniamo a noi:
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}= \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{\sqrt[3]{log(h+1)-3}-\sqrt[3]{log(1)-3}}{h}}= \\ \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{log(h+1)}{
h\left (\sqrt[3]{(log(h+1)-3)^2}+\left (\sqrt[3]{log(h+1)-3}*\sqrt[3]{log(1)-3}\right )+\sqrt[3]{(log(1)-3)^2}\right )
}}= \)
Togliamo il log(1)=0.
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{log(h+1)}{
h\left (\sqrt[3]{(log(h+1)-3)^2}+\left (\sqrt[3]{log(h+1)-3}*\sqrt[3]{-3}\right )+\sqrt[3]{(-3)^2}\right )
}} \)
Facciamo tendere \(\displaystyle h\rightarrow 0^+ \).
\(\displaystyle \frac{log(h+1)}{h} =1\) è un limite notevole.
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{1}{
\left (\sqrt[3]{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-3)}\sqrt[3]{(-3)}+\sqrt[3]{(-3)^2} \right )
}}= \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{1}{
\left (\sqrt[3]{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-3)^2} \right )
}}= \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} {\frac{1}{
3\sqrt[3]{(-3)^2}
}}=\frac{-\sqrt[3]{(-3)}}{
9} \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}= \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{\sqrt[3]{-log(h+1)-3}-\sqrt[3]{-log(1)-3}}{h}}= \\ \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{-log(h+1)}{
h\left (\sqrt[3]{(-log(h+1)-3)^2}+\left (\sqrt[3]{-log(h+1)-3}*\sqrt[3]{-log(1)-3}\right )+\sqrt[3]{(-log(1)-3)^2}\right )
}}= \)
Togliamo il log(1)=0.
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{-log(h+1)}{
h\left (\sqrt[3]{(-log(h+1)-3)^2}+\left (\sqrt[3]{-log(h+1)-3}*\sqrt[3]{-3}\right )+\sqrt[3]{(-3)^2}\right )
}} \)
Facciamo tendere \(\displaystyle h\rightarrow 0^- \).
\(\displaystyle \frac{log(h+1)}{h} =1\) è un limite notevole.
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{-1}{
\left (\sqrt[3]{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-3)}\sqrt[3]{(-3)}+\sqrt[3]{(-3)^2} \right )
}}= \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{-1}{
\left (\sqrt[3]{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-3)^2} \right )
}}= \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} {\frac{-1}{
3\sqrt[3]{(-3)^2}
}}=\frac{\sqrt[3]{(-3)}}{
9} \)
Quindi prendendo la definizione di derivabilità, sia a sinistra e che a destra, abbiamo ottenuto due valori diversi(per il segno), quindi possiamo affermare che in \(\displaystyle 0\) la funzione non derivabile.
In questo punto diceva:
Dire in quali punti del suo dominio f non è derivabile e precisare la natura di tali punti.
Non capisco cosa voglia sapere con, "e precisare la natura di tali punti".
Ciao angelok90,
Di solito per natura dei punti si intende di massimo, di minimo, angolosi, di flesso a tangente orizzontale/verticale/obliqua... Tipicamente in presenza di moduli ci si aspettano punti angolosi (pensa a $y = |x|$: derivata destra diversa dalla sinistra), mentre in presenza di radici ci si aspettano punti a tangente verticale dove si annulla il radicando (pensa a [tex]y = \sqrt[3] x[/tex]). Non ho controllato i tuoi conti, ma se sono corretti opterei per $- 1$ come punto a tangente verticale, per $0$ come punto angoloso. Per avere un'idea del grafico della funzione possiamo anche farci aiutare da WolframAlpha (che ho visto che già conosci):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D(%7Clog(x%2B1)%7C-3)%5E(1%2F3)
Di solito per natura dei punti si intende di massimo, di minimo, angolosi, di flesso a tangente orizzontale/verticale/obliqua... Tipicamente in presenza di moduli ci si aspettano punti angolosi (pensa a $y = |x|$: derivata destra diversa dalla sinistra), mentre in presenza di radici ci si aspettano punti a tangente verticale dove si annulla il radicando (pensa a [tex]y = \sqrt[3] x[/tex]). Non ho controllato i tuoi conti, ma se sono corretti opterei per $- 1$ come punto a tangente verticale, per $0$ come punto angoloso. Per avere un'idea del grafico della funzione possiamo anche farci aiutare da WolframAlpha (che ho visto che già conosci):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D(%7Clog(x%2B1)%7C-3)%5E(1%2F3)
Ciao pilloeffe,
Ho parlato col prof, aveva fretta, guardando solo il dominio, mi ha detto(riporto ciò che ha scritto su un foglio):
\(\displaystyle x+1>0 \)
\(\displaystyle log(x+1)\geq 0,x+1\geq 1,x\geq 0 \)
\( \displaystyle \begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 } \\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 } \end{cases} \)
Dicendomi, bisogna considerare anche quando si annulla, scrivendo.
\(\displaystyle log(x+1)-3=0 \)
\(\displaystyle x+1=e^3 \)
\(\displaystyle x=e^3-1 \)
Non ho capito il motivo, secondo te in che senso?
Guardandolo sembra un intersezione con l'asse y=0, ma chiedendo una volta se per lo studio di funzione dovessi fare anche l'intersezione con gli assi, mi è stato detto che neanche la guarda.
Secondo te, cosa voleva dire?
Presuppongo anche:
\(\displaystyle -log(x+1)-3=0 \)
\(\displaystyle -log(x+1)=3 \)
\(\displaystyle log(x+1)=-3 \)
\(\displaystyle x+1=e^{-3} \)
\(\displaystyle x=e^{-3}-1 \)
Giusto?
Non so, come considerare questi punti trovati.
Com'è 0 punto angoloso sono d'accordo, perché da sinistra e da destra ottengo valori finiti ma con segno opposto, valore dato perché presuppongo valga per il valore assoluto.
Per -1, perché come punto a tangente verticale?
Parlando con alcuni colleghi, ho chiesto se in un punto posso fare solo il rapporto incrementale solo da un lato, posso dire con certezza che quel punto è non derivabile, non erano molto certi.
Dicendomi, di provare a fare il rapporto solo dal lato in cui potevo farlo, perché dall'altro lato non era definito.
\(\displaystyle x_0=-1 \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} \frac{\sqrt[3]{log(h) - 3} - \sqrt[3]{log(0) - 3}}{h} \)
Ho provato a razionalizzare come prima ma, non sono molto convito.
Quindi chiedendo a wolframalpha di razionalizzare il numeratore:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((log(x)+-+3)%5E(1%2F3)+-+(log(0)+-+3)%5E(1%2F3))*((log(x)+-+3)%5E(2%2F3)%2B(log(x)+-+3)%5E(1%2F3)*(log(0)+-+3)%5E(1%2F3)%2B(log(0)+-+3)%5E(2%2F3))
Se invece gli chiedo di:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+(((log(h)+-+3)%5E(1%2F3)+-+(log(0)+-+3)%5E(1%2F3))%2Fh)+as+h-%3E0%5E%2B
Non so come interpretarli, ahah.
Ho parlato col prof, aveva fretta, guardando solo il dominio, mi ha detto(riporto ciò che ha scritto su un foglio):
\(\displaystyle x+1>0 \)
\(\displaystyle log(x+1)\geq 0,x+1\geq 1,x\geq 0 \)
\( \displaystyle \begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 } \\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 } \end{cases} \)
Dicendomi, bisogna considerare anche quando si annulla, scrivendo.
\(\displaystyle log(x+1)-3=0 \)
\(\displaystyle x+1=e^3 \)
\(\displaystyle x=e^3-1 \)
Non ho capito il motivo, secondo te in che senso?
Guardandolo sembra un intersezione con l'asse y=0, ma chiedendo una volta se per lo studio di funzione dovessi fare anche l'intersezione con gli assi, mi è stato detto che neanche la guarda.
Secondo te, cosa voleva dire?
Presuppongo anche:
\(\displaystyle -log(x+1)-3=0 \)
\(\displaystyle -log(x+1)=3 \)
\(\displaystyle log(x+1)=-3 \)
\(\displaystyle x+1=e^{-3} \)
\(\displaystyle x=e^{-3}-1 \)
Giusto?
Non so, come considerare questi punti trovati.
Com'è 0 punto angoloso sono d'accordo, perché da sinistra e da destra ottengo valori finiti ma con segno opposto, valore dato perché presuppongo valga per il valore assoluto.
Per -1, perché come punto a tangente verticale?
Parlando con alcuni colleghi, ho chiesto se in un punto posso fare solo il rapporto incrementale solo da un lato, posso dire con certezza che quel punto è non derivabile, non erano molto certi.
Dicendomi, di provare a fare il rapporto solo dal lato in cui potevo farlo, perché dall'altro lato non era definito.
\(\displaystyle x_0=-1 \)
\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} \frac{\sqrt[3]{log(h) - 3} - \sqrt[3]{log(0) - 3}}{h} \)
Ho provato a razionalizzare come prima ma, non sono molto convito.
Quindi chiedendo a wolframalpha di razionalizzare il numeratore:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((log(x)+-+3)%5E(1%2F3)+-+(log(0)+-+3)%5E(1%2F3))*((log(x)+-+3)%5E(2%2F3)%2B(log(x)+-+3)%5E(1%2F3)*(log(0)+-+3)%5E(1%2F3)%2B(log(0)+-+3)%5E(2%2F3))
Se invece gli chiedo di:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+(((log(h)+-+3)%5E(1%2F3)+-+(log(0)+-+3)%5E(1%2F3))%2Fh)+as+h-%3E0%5E%2B
Non so come interpretarli, ahah.
Ciao angelok90,
Beh, diciamo che mi sono fatto fuorviare dal fatto che inizialmente mi hai chiesto solo i punti $- 1^+$ e $0$, ma se riguardi bene l'esempio che ti ho fatto ([tex]y = \sqrt[3] x[/tex]) ed il link a WolframAlpha (tutta la pagina, non fermarti al solo grafico...) che ti ho scritto nella mia risposta precedente dovresti trovare la risposta alle tue perplessità...
Beh, diciamo che mi sono fatto fuorviare dal fatto che inizialmente mi hai chiesto solo i punti $- 1^+$ e $0$, ma se riguardi bene l'esempio che ti ho fatto ([tex]y = \sqrt[3] x[/tex]) ed il link a WolframAlpha (tutta la pagina, non fermarti al solo grafico...) che ti ho scritto nella mia risposta precedente dovresti trovare la risposta alle tue perplessità...
Parli del dominio che mi da wolframalpha:
[img]https://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP56229g90717e60ca0500005378i9fh0a9058g7?MSPStoreType=image/gif&s=53[/img]
Ho cercato di analizzare meglio il grafico tra: \(\displaystyle {\frac{1}{e^3}-1} \) e \(\displaystyle e^3-1 \)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B(-3+%2B+Abs%5BLog%5B1+%2B+x%5D%5D)%5E(1%2F3)%5D,%7Bx,+1%2Fe%5E3-1,+e%5E3-1%7D,%7By,+0,+1.3%7D
Quindi tra: \(\displaystyle {\frac{1}{e^3}-1} \) e \(\displaystyle e^3-1 \) la funzione non è definita?
Non sono riuscito a chiarire i miei dubbi, anzi ne sono venuti altri, come:
Se il dominio non può essere minore di -1, prendendo la definizione di dominio di una funzione:
Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione, ossia l'insieme di partenza sui cui elementi ha senso valutare la funzione.
Ma guardando il grafico, perché minore "-1", non dovrebbe avere senso la funzione?
La stessa cosa per: [\(\displaystyle {\frac{1}{e^3}-1} \), \(\displaystyle e^3-1 \)] .
Mi ricordo che le radici ad indice dispari sono definite su tutto \(\displaystyle \Re \).
Quindi ti prego, chiarisci le mie perplessità.
[img]https://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP56229g90717e60ca0500005378i9fh0a9058g7?MSPStoreType=image/gif&s=53[/img]
Ho cercato di analizzare meglio il grafico tra: \(\displaystyle {\frac{1}{e^3}-1} \) e \(\displaystyle e^3-1 \)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B(-3+%2B+Abs%5BLog%5B1+%2B+x%5D%5D)%5E(1%2F3)%5D,%7Bx,+1%2Fe%5E3-1,+e%5E3-1%7D,%7By,+0,+1.3%7D
Quindi tra: \(\displaystyle {\frac{1}{e^3}-1} \) e \(\displaystyle e^3-1 \) la funzione non è definita?
Non sono riuscito a chiarire i miei dubbi, anzi ne sono venuti altri, come:
Se il dominio non può essere minore di -1, prendendo la definizione di dominio di una funzione:
Il dominio di una funzione è l'insieme su cui è definita la funzione, ossia l'insieme di partenza sui cui elementi ha senso valutare la funzione.
Ma guardando il grafico, perché minore "-1", non dovrebbe avere senso la funzione?
La stessa cosa per: [\(\displaystyle {\frac{1}{e^3}-1} \), \(\displaystyle e^3-1 \)] .
Mi ricordo che le radici ad indice dispari sono definite su tutto \(\displaystyle \Re \).
Quindi ti prego, chiarisci le mie perplessità.
Ciao angelok90.
Innanzitutto non prendere per oro colato tutto ciò che ti riporta il pur ottimo software WolframAlpha: abbiamo giusto visto con francicko in questo post che il risultato di quel limite fornito da WolframAlpha è errato. E' invece un software utile per avere indicazioni da sottoporre ad interpretazione. Il dominio della funzione che hai proposto è quello che abbiamo già trovato noi: d'altronde se prendiamo ad esempio $x = e^2 - 1$, si vede subito che la funzione è perfettamente definita in quel punto, si ottiene [tex]y = \sqrt[3] - 1 = - 1[/tex]. Così come è perfettamente definita e vale $0$ nei due punti $e^3 - 1$ e $e^{-3} - 1$ che hai menzionato. Tuttavia, il fatto che sia definita la funzione, non significa che sia definita anche la derivata: sempre in quel link che ti ho inviato, osserva attentamente la derivata e cosa le accade nei punti $e^3 - 1$ e $e^{-3} - 1$ che hai menzionato...
Innanzitutto non prendere per oro colato tutto ciò che ti riporta il pur ottimo software WolframAlpha: abbiamo giusto visto con francicko in questo post che il risultato di quel limite fornito da WolframAlpha è errato. E' invece un software utile per avere indicazioni da sottoporre ad interpretazione. Il dominio della funzione che hai proposto è quello che abbiamo già trovato noi: d'altronde se prendiamo ad esempio $x = e^2 - 1$, si vede subito che la funzione è perfettamente definita in quel punto, si ottiene [tex]y = \sqrt[3] - 1 = - 1[/tex]. Così come è perfettamente definita e vale $0$ nei due punti $e^3 - 1$ e $e^{-3} - 1$ che hai menzionato. Tuttavia, il fatto che sia definita la funzione, non significa che sia definita anche la derivata: sempre in quel link che ti ho inviato, osserva attentamente la derivata e cosa le accade nei punti $e^3 - 1$ e $e^{-3} - 1$ che hai menzionato...
Dici sul fatto che il denominatore della derivata faccia 0?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5BLog%5B1+%2B+x%5D%2F(3+(1+%2B+x)+(-3+%2B+Abs%5BLog%5B1+%2B+x%5D%5D)%5E(2%2F3)+Abs%5BLog%5B1+%2B+x%5D%5D)%5D,%7Bx,+-2,20%7D,%7By,+-0.5,+0.5%7D
Quindi chiarendo Dominio:
\( \displaystyle DomF= ]-1,+inf[ \)
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 } \text{ se } x \in [0, +\infty)\\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 } \text{ se } x \in (-1, 0) \end{cases} \)
Perché il prof allora vedendo il dominio e la funzione, mi ha detto subito di considerare quei due punti?
In -1, posso fare il limite del rapporto incrementale solo da un lato oppure no?
Tu mi dice che −1 è un punto a tangente verticale, come lo dimostro?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5BLog%5B1+%2B+x%5D%2F(3+(1+%2B+x)+(-3+%2B+Abs%5BLog%5B1+%2B+x%5D%5D)%5E(2%2F3)+Abs%5BLog%5B1+%2B+x%5D%5D)%5D,%7Bx,+-2,20%7D,%7By,+-0.5,+0.5%7D
Quindi chiarendo Dominio:
\( \displaystyle DomF= ]-1,+inf[ \)
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{log(x+1)-3 } \text{ se } x \in [0, +\infty)\\ \sqrt[3]{-log(x+1)-3 } \text{ se } x \in (-1, 0) \end{cases} \)
Perché il prof allora vedendo il dominio e la funzione, mi ha detto subito di considerare quei due punti?
In -1, posso fare il limite del rapporto incrementale solo da un lato oppure no?
Tu mi dice che −1 è un punto a tangente verticale, come lo dimostro?
Ciao angelok90,
Eh, hai detto niente...
Perché il tuo prof. è un "volpone": sapeva già che dandoti da studiare una funzione con una radice, nella derivata prima (che tipicamente comunque si calcola e se ne studia il segno negli studi di funzione...) sarebbero sorte "complicazioni" al denominatore... Per fartela semplice, pensa solo alla funzione $y = sqrt x$: la derivata è $y' = frac{1}{2 sqrt x}$... Cosa succede in $x = 0$?
Guarda il grafico con WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+sqrt(x)
Lo vedi cosa succede in $x = 0$? Una cosa analoga succede per la radice cubica (più inerente al tuo caso...) ed in generale per tutte le radici:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+(x)%5E(1%2F3)&rawformassumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22
Sì, ovviamente solo dal lato destro, perché in quello sinistro la funzione non è definita...
"angelok90":
Dici sul fatto che il denominatore della derivata faccia 0?
Eh, hai detto niente...
"angelok90":
Perché il prof allora vedendo il dominio e la funzione, mi ha detto subito di considerare quei due punti?
Perché il tuo prof. è un "volpone": sapeva già che dandoti da studiare una funzione con una radice, nella derivata prima (che tipicamente comunque si calcola e se ne studia il segno negli studi di funzione...) sarebbero sorte "complicazioni" al denominatore... Per fartela semplice, pensa solo alla funzione $y = sqrt x$: la derivata è $y' = frac{1}{2 sqrt x}$... Cosa succede in $x = 0$?
Guarda il grafico con WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+sqrt(x)
Lo vedi cosa succede in $x = 0$? Una cosa analoga succede per la radice cubica (più inerente al tuo caso...) ed in generale per tutte le radici:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+(x)%5E(1%2F3)&rawformassumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22
"angelok90":
In -1, posso fare il limite del rapporto incrementale solo da un lato oppure no?
Sì, ovviamente solo dal lato destro, perché in quello sinistro la funzione non è definita...
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