Monotonia di un insieme numerico goniometrico

[angelox9]

Salve a tutti, ho il seguente insieme numerico:
\(\displaystyle X= \left \{ sin\frac{ \pi n}{4(n+1)} : n \in \mathbb{N} \right \} \)

Devo trovare estremo inferiore e superiore.
Per trovarli volevo studiare la monotonia dell'insieme.
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1 \) cioè \(\displaystyle a_{n+1}>a_{n} \).

Ma non so come studiare la monotonia di una funzione goniometrica.
Pensavo di calcolare la derivata prima:
\(\displaystyle f'(x)=\frac{ \pi cos(\frac{\pi n}{4(n+1)})}{4(n+1)^2}\geq 0 \)

Il denominatore è sempre positivo.
Quindi devo studiare solo, \(\displaystyle cos(\frac{\pi n}{4(n+1)}) \geq 0 \).
Il coseno è positivo tra \(\displaystyle cos[0+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi] \).

Considerando che il coseno è una funzione periodica debbo prendere un intervallo di restrizione.
So che i punti in cui la derivata prima si annulla cioè =0, sono candidati di massimo e minimo.

Qui mi perdo, non so come andare avanti per trovare estremo inferiore e superiore.

[axpgn]

Io studierei solo $n/(4(n+1))<1/2$ che è sempre vera ...

[angelox9]

Perdonami perché solo: $ n/(4(n+1))<1/2 $

[axpgn]

Supponendo di partire da $n=0$ avremo $sin 0=0$ (se si parte da $n=1$ avremo $sin (pi/8)$ ma non cambia la sostanza del resto).
Se pensi che sia crescente l'angolo non dovrà mai superare $pi/2$ (altrimenti il seno decresce) quindi deve essere $(pin)/(4(n+1)) Dimostrato che l'angolo è "confinato" nel primo quadrante, resta da dimostrare che è crescente cioè $(pin)/(4(n+1))<(pi(n+1))/(4(n+1+1))$ da cui $n(n+2)<(n+1)(n+1)\ ->\ n^2+2n

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[angelox9]

Dicendo: $ (pin)/(4(n+1)) Essendo l'insieme crescente.
L'estremo inferiore: \(\displaystyle inf X=\lim_{n\rightarrow 0} sin\frac{ \pi n}{4(n+1)}=0 \)
L'estremo superiore: \(\displaystyle sup X=\lim_{n\rightarrow + \infty} sin\frac{ \pi n}{4(n+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Sbaglio?

[axpgn]

Dico che DEVE essere così se vuoi che la successione sia sempre crescente, quindi devi dimostrare che lo sia ... peraltro è semplice ... $2n<4n+4\ ->\ 0<2n+4$

[angelox9]

Dico facendo vedere che: $ 2n<4n+4\ ->\ 0<2n+4 $, si evince che la successione è crescente. \( \displaystyle \forall n \in \aleph \)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin+((pi*x)%2F(4x%2B4)),%7Bx,0,5%7D
Essendo l'insieme crescente.
L'estremo inferiore: \( \displaystyle inf X=\lim_{n\rightarrow 0} sin\frac{ \pi n}{4(n+1)}=0 \)
L'estremo superiore: \( \displaystyle sup X=\lim_{n\rightarrow + \infty} sin\frac{ \pi n}{4(n+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Cioè, sto dicendo che questa successione, non potrà mai essere negativa o decrescente, in \( \displaystyle \aleph \).
Sto sbagliando?

[axpgn]

No, però adesso è scritto meglio ...

[angelox9]

Perché adesso è scritto meglio? Ahah

[axpgn]

Perché adesso hai detto: "se dimostro questo allora è vero quest'altro" mentre prima hai affermato che fosse vera senza condizioni ... più o meno ... ... IMHO

[Fioravante Patrone1]

Appena rientrato da un trasporto di cavalli, volevo rilassarmi un po'

Leggo:

"angelok90":Salve a tutti, ho il seguente insieme numerico:
\(\displaystyle X= \left \{ sin\frac{ \pi n}{4(n+1)} : n \in \mathbb{N} \right \} \)

Devo trovare estremo inferiore e superiore.
Per trovarli volevo studiare la monotonia dell'insieme.
...

Noto con curiosità che nessuno ha detto "bà" su questa affermazione aberrante.
Torno al mio letargo.