Dubbio dominio funzioni integrali
Salve a tutti! Studiando le funzioni integrali ho avuto dei dubbi riguardo il dominio di queste due funzioni integrali:
1)$\int_{1}^{x} (e^t-7)/t dt$ 2)$\int_{2}^{x} (t-1)/logt dt$
Per quanto riguardo il primo, l'integranda è definita per ogni t reale eccetto il valore t=0. Passando alla funzione integrale devo studiare il comportamento dell'integrale agli estremi del dominio dell'integranda?
Grazie in anticipo
1)$\int_{1}^{x} (e^t-7)/t dt$ 2)$\int_{2}^{x} (t-1)/logt dt$
Per quanto riguardo il primo, l'integranda è definita per ogni t reale eccetto il valore t=0. Passando alla funzione integrale devo studiare il comportamento dell'integrale agli estremi del dominio dell'integranda?
Grazie in anticipo
Risposte
Il dominio di una funzione integrabile coincide col più grande intervallo contenente il punto iniziale dell'integrale definito nel quale la funzione integranda è definita ed integrabile (anche in senso improprio).
Ad esempio, il dominio della prima funzione integrale è il più grande intervallo contenente $1$ nel quale la funzione integranda $f(x):=(e^x - 7)/x$ risulta definita ed integrabile (anche in senso improprio). Dato che $f$ è definita in $\RR \setminus \{0\}$ e non è sommabile in $0$, l'insieme di definizione della prima funzione integrale è $]0,+oo[$.
Ad esempio, il dominio della prima funzione integrale è il più grande intervallo contenente $1$ nel quale la funzione integranda $f(x):=(e^x - 7)/x$ risulta definita ed integrabile (anche in senso improprio). Dato che $f$ è definita in $\RR \setminus \{0\}$ e non è sommabile in $0$, l'insieme di definizione della prima funzione integrale è $]0,+oo[$.
Quindi se ho ben capito guardando la seconda funzione l'integranda è definita per $t>0$ con t diverso da 1. Dunque l'integranda è definita in $(0,1) U (1,+infty)$. Dunque devo studiare il comportamento dell'integrale in 0 e 1?
Innanzitutto, comincia a stabilire in quale degli intervalli che compongono \(\operatorname{Dom} f\) cade il punto iniziale d'integrazione $x_0=2$...
Dopo aver fatto ciò, ti studi l'integrabilità impropria nel primo punto "problematico" che incontri cercando di espandere l'insieme di definizione della funzione integrale.
Dopo aver fatto ciò, ti studi l'integrabilità impropria nel primo punto "problematico" che incontri cercando di espandere l'insieme di definizione della funzione integrale.
Beh...io direi di considerare allora solo il secondo intervallo $(1,+infty)$ e studiare il comportamento dell'integrale in un intorno destro di 1??
Certo, devi cominciare proprio da lì. 
Grazie mille! Quindi se converge alla fine l'intervallo risulta $[1,+infty)$ , altrimenti $(1,+infty)$?
Beh, se l'integrale improprio converge solo da destra in $1$, sì.
Se però la funzione integranda è sommabile pure a sinistra di $1$, puoi "scavalcare" il punto che dà problemi e passare anche nell'altro intervallo che costituisce il dominio dell'integranda.
Dopodiché, se è il caso, vai pure ad analizzare il comportamento in $0$ (da destra solamente) e vedi se puoi prolungare la funzione integrale anche su $0$.
Se però la funzione integranda è sommabile pure a sinistra di $1$, puoi "scavalcare" il punto che dà problemi e passare anche nell'altro intervallo che costituisce il dominio dell'integranda.
Dopodiché, se è il caso, vai pure ad analizzare il comportamento in $0$ (da destra solamente) e vedi se puoi prolungare la funzione integrale anche su $0$.
Grazie mille per i consigli e la pazienza! 
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