Calcolo limite e discontinuità

[zio_mangrovia]

Studiando la discontinuità di questa funzione:

$f(x)={(sin(x)2^(1/x) if x!=0), (0 if x=0):}$

E' corretto il mio ragionamento?

studio il limite destro e sinistro in zero...

Per questo limite destro non viene in mente niente...
$\lim_{x \to 0_+}sin(x)2^(1/x)$ $=?$

mentre per questo
$\lim_{x \to 0_-}sin(x)2^(1/x)$ è corretto dire:
$\lim_{x \to 0_+}sin(x)2^(1/x)$=$sin(0)2^(1/0_-)$=$0*2^(-\infty)$=$0*(1/2^\infty)$=0


Mi dite per cortesia se sbaglio procedimento e calcolo del limite?

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

L'idea sarebbe quella di usare la regola di l'Hopital:

$\lim_{x \to 0^+}sin(x)2^(1/x) = \lim_{x \to 0^+} frac{sin x}{2^{-frac{1}{x}}} = \lim_{x \to 0^+} frac{cos x}{frac{2^{-frac{1}{x}}\ln 2}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} frac{cos x}{frac{\ln 2}{x^2 2^{frac{1}{x}}}} = frac{1}{\ln 2} \lim_{x \to 0^+} x^2 2^{frac{1}{x}}cos x = +\infty$

Infatti si può dimostrare che

$\lim_{x \to 0^+} x^2 2^{frac{1}{x}} = +\infty$