Studiare, al variare di \(\displaystyle x \geq 0 \), la serie numerica
Salve a tutti,
studiare, al variare di \(\displaystyle x \geq 0 \), la serie numerica:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(-1)^nlog n}{\pi^n+3n} \).
Non so bene come poterla studiare, qualche suggerimento?
studiare, al variare di \(\displaystyle x \geq 0 \), la serie numerica:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(-1)^nlog n}{\pi^n+3n} \).
Non so bene come poterla studiare, qualche suggerimento?
Risposte
Ciao angelok90,
Boh, io la spezzerei in due:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(-1)^n \log n}{\pi^n + 3n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{\pi^n + 3n} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n \log n}{\pi^n + 3n}$
poi farei uso del criterio del rapporto per entrambe: la prima converge per $|x| < \pi$, la seconda non dipende da $x$ e converge...
Boh, io la spezzerei in due:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n+(-1)^n \log n}{\pi^n + 3n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{\pi^n + 3n} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n \log n}{\pi^n + 3n}$
poi farei uso del criterio del rapporto per entrambe: la prima converge per $|x| < \pi$, la seconda non dipende da $x$ e converge...
Ciao pilloeffe,
per la prima perché $ |x| < \pi $ invece non $ x < \pi $ se \(\displaystyle x \geq 0 \).
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{\frac{x^{n+1}}{\pi^{n+1}+3n+3}}{\frac{x^{n}}{\pi^{n}+3n}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{\pi^{n}+3n}{\pi^{n+1}+3n+3}x= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{\pi^{n}(1+\frac{3n}{\pi^{n}})}{\pi^{n+1}(1+\frac{3n}{\pi^{n+1}}+\frac{3}{\pi^{n+1}})}x=\frac{x}{\pi} \)
Se \(\displaystyle \frac{x}{\pi}<1 \Rightarrow x<\pi \) la serie converge.
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Ho studiato l'assoluta convergenza:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|(-1)^n| \log n}{\pi^n + 3n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{ \log n}{\pi^n + 3n} $
Appplico il criterio del rapporto:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{log(n+1)}{\pi^{n+1}+3n+3}\frac{\pi^{n}+3n}{log(n)}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{log(n+1)}{log(n)}\frac{\pi^{n}+3n}{\pi^{n+1}+3n+3} \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{log(n+1)}{log(n)} \frac{\pi^{n}(1+\frac{3n}{\pi^{n}})}{\pi^{n+1}(1+\frac{3n}{\pi^{n+1}}+\frac{3}{\pi^{n+1}})}=\frac{1}{\pi} \)
La serie converge perché \(\displaystyle \frac{1}{\pi}<1 \Rightarrow 1<\pi\).
Essendo che la prima converge per $ x < \pi $ e la seconda per $ 1 < \pi $ quindi la seconda sempre vera, la serie iniziale converge se $ x < \pi $.
Sto sbagliando qualcosa?
per la prima perché $ |x| < \pi $ invece non $ x < \pi $ se \(\displaystyle x \geq 0 \).
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{\frac{x^{n+1}}{\pi^{n+1}+3n+3}}{\frac{x^{n}}{\pi^{n}+3n}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{\pi^{n}+3n}{\pi^{n+1}+3n+3}x= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{\pi^{n}(1+\frac{3n}{\pi^{n}})}{\pi^{n+1}(1+\frac{3n}{\pi^{n+1}}+\frac{3}{\pi^{n+1}})}x=\frac{x}{\pi} \)
Se \(\displaystyle \frac{x}{\pi}<1 \Rightarrow x<\pi \) la serie converge.
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Ho studiato l'assoluta convergenza:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|(-1)^n| \log n}{\pi^n + 3n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{ \log n}{\pi^n + 3n} $
Appplico il criterio del rapporto:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{log(n+1)}{\pi^{n+1}+3n+3}\frac{\pi^{n}+3n}{log(n)}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{log(n+1)}{log(n)}\frac{\pi^{n}+3n}{\pi^{n+1}+3n+3} \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{log(n+1)}{log(n)} \frac{\pi^{n}(1+\frac{3n}{\pi^{n}})}{\pi^{n+1}(1+\frac{3n}{\pi^{n+1}}+\frac{3}{\pi^{n+1}})}=\frac{1}{\pi} \)
La serie converge perché \(\displaystyle \frac{1}{\pi}<1 \Rightarrow 1<\pi\).
Essendo che la prima converge per $ x < \pi $ e la seconda per $ 1 < \pi $ quindi la seconda sempre vera, la serie iniziale converge se $ x < \pi $.
Sto sbagliando qualcosa?
No, tutto giusto... 
Ho sbagliato io che mi sono "bevuto" il "al variare di $x \ge 0$"... 
Ho sbagliato io che mi sono "bevuto" il "al variare di $x \ge 0$"...
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