Limite
Sto iniziando a cimentarmi con i limiti a due variabili, e cercavo di risolvere il seguente:
$lim_((x,y)->(0,0))(tan(x^2)(e^y-1))/(sin (x^4)+log (y^2+1)) $, usando gli asintotici $tanx^2~~x^2$, e $(e^y-1)~~y $, ed inoltre $log (y^2+1)~~y^2$, sostituendo arrivo alla forma equivalente
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2y)/(x^4+y^2) $, devo dimostrare che il limite esiste, nel caso specifico, lo si può fare sfruttando delle maggiorazioni, o conviene fare la trasformazione in coordinate polari?
Qualche suggerimento; Grazie!
$lim_((x,y)->(0,0))(tan(x^2)(e^y-1))/(sin (x^4)+log (y^2+1)) $, usando gli asintotici $tanx^2~~x^2$, e $(e^y-1)~~y $, ed inoltre $log (y^2+1)~~y^2$, sostituendo arrivo alla forma equivalente
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2y)/(x^4+y^2) $, devo dimostrare che il limite esiste, nel caso specifico, lo si può fare sfruttando delle maggiorazioni, o conviene fare la trasformazione in coordinate polari?
Qualche suggerimento; Grazie!
Risposte
Ciao francicko,
Sicuro che esista? Se prendi due rette uscenti dall'origine diverse come $y = x$ e $y = - x$ sembrerebbe di sì, ma se prendi le due parabole $y = x^2$ e $y = - x^2$...
Sicuro che esista? Se prendi due rette uscenti dall'origine diverse come $y = x$ e $y = - x$ sembrerebbe di sì, ma se prendi le due parabole $y = x^2$ e $y = - x^2$...
D'accordo, si otterrebbe dei valori diversi quindi il limite non esiste, ma non riesco a capire perché wolfram mi da come risultato zero? 
Sono proprio alle prime armi con questo tipo di limiti, ma ho controllato più volte e wolfram mi da sempre lo stesso risultato ;
Sono proprio alle prime armi con questo tipo di limiti, ma ho controllato più volte e wolfram mi da sempre lo stesso risultato ;
Vero: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(x%5E2+y)%2F(x%5E4+%2B+y%5E2)+(x,+y)+to+(0,+0)
Non saprei dirti perché, forse un bug del software... Ora scrivo a Eric Weisstein e gliene dico 4...
Non saprei dirti perché, forse un bug del software... Ora scrivo a Eric Weisstein e gliene dico 4...
Se il limite fosse stato $lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2+y^2) $ in questo caso, visto che sia con il fascio di rette $y=mx $, sia con il fascio di parabole, $y=ax^2$, il limite da zero, mi verrebbe da pensare che il limite da effettivamente zero,anche se so che può benissimo essere un risultato differente o tuttavia non esistere, anche in questo caso , è possibile ricorrere a delle maggiorazioni, o conviene usare la trasformazione in coordinate polari?
Ciao francicko,
Oddio, non è che io sia un mostro con i limiti in due variabili, però direi che per il secondo limite che hai proposto si ha:
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2+y^2) = 0$
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} = \rho^2 cos^2 \theta sin^2 \theta $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}| = |\rho^2 cos^2 \theta sin^2 \theta | \le \rho^2$
E dato che $0 \le |f(x, y)| \le \rho^2$, la funzione è arbitrariamente vicina a $0$ quando $\rho$, cioè la distanza fra $(x, y)$ e $(0, 0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite che hai proposto è $0$ proprio per definizione di limite.
Oddio, non è che io sia un mostro con i limiti in due variabili, però direi che per il secondo limite che hai proposto si ha:
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2+y^2) = 0$
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} = \rho^2 cos^2 \theta sin^2 \theta $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}| = |\rho^2 cos^2 \theta sin^2 \theta | \le \rho^2$
E dato che $0 \le |f(x, y)| \le \rho^2$, la funzione è arbitrariamente vicina a $0$ quando $\rho$, cioè la distanza fra $(x, y)$ e $(0, 0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite che hai proposto è $0$ proprio per definizione di limite.
$ \lim_((x,y)\to (0,0)) (tan(x^2)(e^y-1))/(\sin(x^4)+ln(y^2+1)) $
se imponi, il fascio di parabole $ y=mx^2 $ ottieni
\( \lim_{x\to 0} \frac{\tan(x^2)(e^{mx^2}-1)}{\sin(x^4)+\ln(m^2x^4+1)}\sim \frac{x^4 m}{x^4+m^2x^4}=\frac{m}{1+m^2} \)
il risultato dipende dal parametro $m$ il limite NON esiste..
NEL SECONDO ESEMPIO, è giusto passare in coordinate polari!..
se per tentativi, tra il fascio di rette e di parabole viene zero.. prova a passare in coordinate polari e vedere se esiste!
se imponi, il fascio di parabole $ y=mx^2 $ ottieni
\( \lim_{x\to 0} \frac{\tan(x^2)(e^{mx^2}-1)}{\sin(x^4)+\ln(m^2x^4+1)}\sim \frac{x^4 m}{x^4+m^2x^4}=\frac{m}{1+m^2} \)
il risultato dipende dal parametro $m$ il limite NON esiste..
NEL SECONDO ESEMPIO, è giusto passare in coordinate polari!..
se per tentativi, tra il fascio di rette e di parabole viene zero.. prova a passare in coordinate polari e vedere se esiste!
Un esempio sfruttando il risultato $ lim_((x,y)->(0,0))(x^2y^2)/(x^2+y^2)=0$, potrebbe essere questo:
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2-x^3y^3)/(x^2+y^2) $ che si può mettere nella forma $lim_((x,y)->(0,0))1-(x^2y^2)/(x^2+y^2)(xy) $ $=1-lim ((x^2y^2)/(x^2+y^2))×lim (xy) $ $=1-0×0=1$
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2-x^3y^3)/(x^2+y^2) $ che si può mettere nella forma $lim_((x,y)->(0,0))1-(x^2y^2)/(x^2+y^2)(xy) $ $=1-lim ((x^2y^2)/(x^2+y^2))×lim (xy) $ $=1-0×0=1$
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