Dimostrare che la seguente espressione trigonometrica è nulla

[andrea.corzino]

Salve...!!

Il mio testo dice che la seguente espressione è nulla ,ma non capisco il perche;
Partiamo però dal principio:

Sia:
$ epsi=e^(i(2pi)/5 ) = cos ((2pi)/5) + isin ((2pi)/5) $

L'espressione:
$ epsi+epsi^2+epsi^3+epsi^4+epsi^5 =sum_(n=1)^(5)e^((2pii n)/5 $

è nulla per le proprietà trigonometriche:
$ sum_(n=1)^(l)cos((2pi n)/l) $
$ sum_(n=1)^(l)sin((2pi n)/l) $


Non capisco perchè i termini di questa espressione dovrebbero annullarsi. Cos'è che annulla i vari cos(2pi n/5) e i relativi seni??
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[anto_zoolander]

Hai provato a considerare che

$epsilon+epsilon^2+...+epsilon^5=-1+sum_(n=0)^(5)epsilon^n$?

Ovvero che $-1+sum_(n=0)^(5)epsilon^n=-1+(1-epsilon^(6))/(1-epsilon)=epsilon((1-epsilon^5)/(1-epsilon))$

Ora $epsilon^5=(e^(i(2pi)/5))^5=e^(i(2pi))=1$

Dunque $1-epsilon^5=0$

[andrea.corzino]

grazie mille !!

Ho una piccola curiosità/dubbio..

Volessi dimostrare invece che quella sommatoria per il coseno e per il seno è NULLA come dovrei fare?
Esiste da qualche parte una dimostrazione?

Io non ho trovato nulla.
Riesco solo a "dirlo" per via grafica sulla circonferenza goniometrica

[pilloeffe]

Ciao xshadow,

Mi ricordavo di averla vista da qualche parte... E te la posto.

Si prova preliminarmente che la somma di tutte le radici di $a_0z^n + a_1z^{n - 1} + ... + a_n = 0$ con $a_0 \ne 0$ è $-frac{a_1}{a_0}$, mentre il prodotto è $frac{(-1)^n a_n}{a_0}$.

Infatti dette $z_1$, $z_2$, ..., $z_n$ le $n$ radici, l'equazione si può scrivere fattorizzata nel modo seguente:

$a_0(z - z_1)(z - z_2)\cdot ... \cdot (z - z_n) = 0$

Moltiplicando direttamente si trova:

$a_0z^n - a_0(z_1 + z_2 + ... + z_n)z^{n - 1} + ... + a_0(-1)^n (z_1 z_2 \cdot ... \cdot z_n) = 0$

Uguagliando i coefficienti, segue che $a_1 = - a_0(z_1 + z_2 + ... + z_n)$ e che $a_n = a_0(-1)^n (z_1 z_2 \cdot ... \cdot z_n)$, da cui:

$z_1 + z_2 + ... + z_n = -frac{a_1}{a_0}$

$z_1 z_2 \cdot ... \cdot z_n = frac{(-1)^n a_n}{a_0}$

come volevasi dimostrare. Ciò premesso, proviamo quanto hai proposto:

$\cos(frac{2\pi}{n}) + \cos(frac{4\pi}{n}) + \cos(frac{6\pi}{n}) + ... + \cos(frac{2(n - 1)\pi}{n}) + \cos(frac{2n\pi}{n}) = \sum_{k = 1}^n \cos(frac{2k\pi}{n}) = 0$

$\sin(frac{2\pi}{n}) + \sin(frac{4\pi}{n}) + \sin(frac{6\pi}{n}) + ... + \sin(frac{2(n - 1)\pi}{n}) + \sin(frac{2n\pi}{n}) = \sum_{k = 1}^n \sin(frac{2k\pi}{n}) = 0$

Infatti si consideri l'equazione $z^n - 1 = 0$, le cui soluzioni sono le $n$ radici dell'unità $1$, $e^frac{2\pi i}{n}$, $e^frac{4\pi i}{n}$, $e^frac{6\pi i}{n}$, ..., $e^frac{2(n - 1)\pi i}{n}$.

In base a quanto dimostrato preliminarmente, la somma di tutte le soluzioni è $-frac{a_1}{a_0} = -frac{0}{1} = 0$, perciò si ha:

$1 + e^frac{2\pi i}{n} + e^frac{4\pi i}{n} + e^frac{6\pi i}{n} + ... + e^frac{2(n - 1)\pi i}{n} = 0$

cioè

$[1 + \cos(frac{2\pi}{n}) + \cos(frac{4\pi}{n}) + \cos(frac{6\pi}{n}) + ... + \cos(frac{2(n - 1)\pi}{n})] + $
$ + i[\sin(frac{2\pi}{n}) + \sin(frac{4\pi}{n}) + \sin(frac{6\pi}{n}) + ... + \sin(frac{2(n - 1)\pi}{n})] = 0$

ovvero

$[\cos(frac{2\pi}{n}) + \cos(frac{4\pi}{n}) + \cos(frac{6\pi}{n}) + ... + \cos(frac{2(n - 1)\pi}{n}) + \cos(frac{2n\pi}{n})] + $
$ + i[\sin(frac{2\pi}{n}) + \sin(frac{4\pi}{n}) + \sin(frac{6\pi}{n}) + ... + \sin(frac{2(n - 1)\pi}{n}) + \sin(frac{2n\pi}{n})] = 0$

dal che consegue quanto volevasi dimostrare.