Studiare il carattere della serie, al variare del parametro reale x
Salve a tutti,
ho la seguente serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n(e^\frac{1}{n}-1)x^n \)
Non so bene come poterla studiare, pensavo di studiare la serie dei valori assoluti.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^n(e^\frac{1}{n}-1)x^n|= \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^n|*(e^\frac{1}{n}-1)*|x^n|= \) (*)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(e^\frac{1}{n}-1)*|x^n|= \) (*)
(*)Non so se questo passaggio sia molto corretto.
Applico il criterio del rapporto su:
\(\displaystyle \lim_{n->\infty} \frac{(e^{\frac{1}{n+1}}-1)|x|^{n+1}}{(e^{\frac{1}{n}}-1)|x|^{n}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n->\infty}
\frac{(e^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}}
\frac{1}{n+1}
\frac{n}{\frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}}}
\frac{|x|^{n+1}}{|x|^{n}}
\)
\(\displaystyle \lim_{n->\infty}
\frac{(e^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}}
\frac{1}{\frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}}}
\frac{n}{n+1}
|x| = |x|\)
Se \(\displaystyle |x|<1 \) la serie converge.
Volevo sapere se andava bene cosi, dimentico qualcosa?
Ringrazio in anticipo.
ho la seguente serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n(e^\frac{1}{n}-1)x^n \)
Non so bene come poterla studiare, pensavo di studiare la serie dei valori assoluti.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^n(e^\frac{1}{n}-1)x^n|= \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}|(-1)^n|*(e^\frac{1}{n}-1)*|x^n|= \) (*)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}(e^\frac{1}{n}-1)*|x^n|= \) (*)
(*)Non so se questo passaggio sia molto corretto.
Applico il criterio del rapporto su:
\(\displaystyle \lim_{n->\infty} \frac{(e^{\frac{1}{n+1}}-1)|x|^{n+1}}{(e^{\frac{1}{n}}-1)|x|^{n}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n->\infty}
\frac{(e^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}}
\frac{1}{n+1}
\frac{n}{\frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}}}
\frac{|x|^{n+1}}{|x|^{n}}
\)
\(\displaystyle \lim_{n->\infty}
\frac{(e^{\frac{1}{n+1}}-1)}{\frac{1}{n+1}}
\frac{1}{\frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)}{\frac{1}{n}}}
\frac{n}{n+1}
|x| = |x|\)
Se \(\displaystyle |x|<1 \) la serie converge.
Volevo sapere se andava bene cosi, dimentico qualcosa?
Ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao angelok90,
Mi torna...
E' assolutamente convergente e quindi semplicemente convergente. Ricordati che il contrario non è vero, basta che pensi a $\sum_{n = 1}^{+\infty}(-1)^n frac{1}{n}$ che è semplicemente convergente, ma non assolutamente convergente...
Mi torna...
E' assolutamente convergente e quindi semplicemente convergente. Ricordati che il contrario non è vero, basta che pensi a $\sum_{n = 1}^{+\infty}(-1)^n frac{1}{n}$ che è semplicemente convergente, ma non assolutamente convergente...
Ciao pilloeffe, sei il mio faro di speranza.
Quindi i passaggi sono corretti, sai durante il compito non vorrei fare dei passaggi sbagliati e fare brutta figura, per poi sbagliare.
Quindi non dimentico nessun altro caso?
All'inizio pensavo di usare il criterio di leibniz, ma quel \(\displaystyle x^n \), mi metteva in difficoltà.
Tu, l'avresti studiata in un altro modo?
Quindi i passaggi sono corretti, sai durante il compito non vorrei fare dei passaggi sbagliati e fare brutta figura, per poi sbagliare.
Quindi non dimentico nessun altro caso?
All'inizio pensavo di usare il criterio di leibniz, ma quel \(\displaystyle x^n \), mi metteva in difficoltà.
Tu, l'avresti studiata in un altro modo?
Ciao angelok90,
Grazie per il faro... Che ogni tanto si spegne per stare dietro ai figli...
Io l'avrei studiata come hai fatto tu...
Grazie per il faro... Che ogni tanto si spegne per stare dietro ai figli...
Io l'avrei studiata come hai fatto tu...
Quindi:
Se |x|<1 la serie converge, cioè -1
Studiando la serie dei valori assoluti.
Mi sono sorti alcuni dubbi.
x=-1 e 1?
Per x<-1 so che non è assolutamente convergente, ma potrebbe ancora convergere.
Non dovrei verificare con leibniz oppure sto sbagliando?
Se |x|<1 la serie converge, cioè -1
Studiando la serie dei valori assoluti.
Mi sono sorti alcuni dubbi.
x=-1 e 1?
Per x<-1 so che non è assolutamente convergente, ma potrebbe ancora convergere.
Non dovrei verificare con leibniz oppure sto sbagliando?
Puoi riscrivere il termine generale come $(e^(1/n)-1)*(-x)^n=(e^(1/n)-1)*y^n=a_ny^n$ che é una serie di potenze, devi solo calcolare il raggio e verificare la convergenza agli estremi. Funziona anche come hai fatto tu, solo che il procedimento é più lungo
Ciao angelok90,
Per $x = - 1$, dato che $(- 1)^{2n} = 1 \AA n$, la serie diventa
$\sum_{n=1}^{+\infty} (e^\frac{1}{n}-1)$
che è divergente perché [tex](e^\frac{1}{n}-1) \sim \frac{1}{n}[/tex] e quindi ha lo stesso comportamento della serie armonica $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$, notoriamente divergente.
Per $x = 1$ invece puoi verificare che la serie converge mediante il criterio di Gottfried Wilhelm von Leibniz.
Per $x = - 1$, dato che $(- 1)^{2n} = 1 \AA n$, la serie diventa
$\sum_{n=1}^{+\infty} (e^\frac{1}{n}-1)$
che è divergente perché [tex](e^\frac{1}{n}-1) \sim \frac{1}{n}[/tex] e quindi ha lo stesso comportamento della serie armonica $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$, notoriamente divergente.
Per $x = 1$ invece puoi verificare che la serie converge mediante il criterio di Gottfried Wilhelm von Leibniz.
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