Analisi matematica di base
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Salve a tutti, preparandomi per gli esami mi è capitato di imbattermi in un esercizio come questo:
Ho capito che la funzione si comporta così:
se la x è diversa da 2,allora f(x)=1
se la x è 2 ,allora f(x)=0
Pero non riesco a capire quali sono i passaggi precisi da eseguire per determinare il valore del limite, voi che ne pensate?
Grazie in anticipo a tutti,
Matteo
P.S.: Il risultato è 1

$ lim_{x to 2}1/(x-2)int_{8}^{x^3} 1/logt dt $
Qualcuno mi può aiutare con questo limite per favore??
Io ho provato a usare subito l’Hopital per togliere l’integrale..ma non riesco ad arrivare alla fine..

Salve a tutti,
un noto teorema ci dice che se una funzione è derivabile in un punto allora in quel punto sarà anche continua. Ma, se data la funzione f, questa è derivabile in un punto x, allora possiamo essere certi che la derivata f' è continua in quel punto? Io credo che non sia scontato a priori, ma non sono riuscito a trovare un controesempio. Grazie

Salve, vorrei sapere se qualcuno sa come parametrizzare(ed eventualmente come si ragiona per farlo) la superficie $y=f(z)=1+cos(z)$ che ruota intorno all'asse z per valori di $-pi<z<+pi$; io ho sempre parametrizzato superfici semplici come sfere, coni ecc... ed è tutto il pomeriggio che provo ma proprio non mi riesce....ed il professore non lo spiega da nessuna parte
Io ragionando ho capito che questa superficie è in pratica una campana rovesciata e sono giunto alla conclusione ...

Ciao a tutti.. mi sono imbattutto nello sviluppo di questo inifnitesimo: $log(sqrt(x - 4) - 1)$ per $x->0$
Va bene se pongo: $sqrt(x - 4) = 2 + 1/4x + ..$ cioè ne faccio lo sviluppo, e poi lo sostituisco dentro il logaritmo ottenendo:
$log(1 + 1/4x) = 1/4x - 1/32x^2..$
è corretto ?
Grazie..


Ciao ragazzi.
Premetto che è da tempo che studio le derivate e pensavo di saperle fare praticamente ad occhi chiusi(derivate di prodotti,quozienti,di composte ecc.) ma oggi mentre facevo qualche esercizio di ripasso mi sono imbattuto in 2 derivare che inizialmente pensavo semplici ma a cui il libro dava soluzioni che io proprio non capisco da dove saltano fuori.
Le due funzioni da derivare sono le seguenti:
Prima:
$(3x-1)^(lnx)$
Seconda:
$y=arcsin(sqrt(x^2-9)+3x)$
Ringrazio ...
Ciao ragazzi,
ho una serie da proporvi:
$ sum_(n = 1)^(oo ) 2^n/x^(4n) $
A me viene chje mi converge in $ (-oo , -2^(1/4)) uu (2^(1/4), +oo ) $
E' possibile questa cosa???

Ho questo integrale:
$\intlog(x-1)*dx=$
io ho posto:
$x-1=t$
$x=t+1$
$x'=1$
$\int 1*Logt*dt=t-logt-\int t*1/t*dt=$
$=t*log(t)-t=(x-1)Log(x-1)-x+1+C$
dove è l'errore? quell'$1$ finale non dovrebbe esserci.

Se an e bn; $n in N$; siano due successioni di numeri reali tali che $an >=bn>= 2 $per ogni $n in N$ Allora:
(a) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = 2$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= 2$
(b)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an = 4$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn <= 4$
(c)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an $ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn $
(d) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = +oo$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= +oo$
secondo me la risposta giusta è la c) perchè questa è una successione limitata e ...

Come si risolve questo limite?
$lim_(x->0)(ln cosx)/x^2$
Innanzitutto ho sommato e sottratto a $cosx$ 1 in modo da ricondurmi al numero di nepero: $lim_(x->0)ln(1+(cosx-1))/x^2$
Successivamente ho diviso e moltiplicato per $cosx-1$ e $x^2$ ottenendo: $lim_(x->0)ln(1+(cosx-1))/(cosx-1) (cosx-1)/x^2$
Quindi poi ho posto $ y= 1/(cosx -1)$ e ho ottenuto $lim_(y->0)ln(1+1/y)^y lim_(x->0) (cosx-1)/x^2$ da cui segue $lim_(y->0)ln(e) lim_(x->0)(cosx-1)/x^2$
e quindi $1 lim_(x->0) (cosx-1)/x^2$ e poi mi sono bloccato perchè il risultato dovrebbe uscire $-1/2$

Ho questo limite:
$lim_(x->0)((cos*Log(1+sqrt(x)))-1)/x$
$cosx=1-x^2/2!$
metto nella x il Log(1+sqrt(x))
$cosLog(1+sqrt(x))-1=-(Log(1+sqrt(x)))^2/2!$
il limite verrà:
$-(Log(1+sqrt(x)))^2/2*x$
questo può essere un limite notevole mettendo tutto sotto il quadrato e trasformando x in $sqrt(x)$
e va ad $1$
quindi quel che resta va a $-1/2$
mi sa che nel compito avrò scritto $1/2$ xD mi son perso il $-$
vabbè.
Va bene come ragionamento?

Sia g(x) una funzione derivabile in (-4; 3) con g(-2) = g(1) = 5, allora:
(a) esiste un punto $c in(-2; 1)$ tale che g'(c) = 0;
(b) g è strettamente crescente in [-2; 1];
(c) esiste un punto $c in(-2; 1)$ tale che g(c) = 0;
(d) g è strettamente decrescente in [-2; 1];
Enunciare il teorema
secondo me la risposta giusta è la a) secondo il teorema di Rolle cosa ne pensate?

è data l'equazione
$ e^(xy) + x - y = 0 $
si chiede di dimostrare che definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno di (0,0).
qui ho un problema, ovvero non so se ho copiato male l'equazione o se non ho capito qualcosa: nella risoluzione dell'esercizio il prof ha posto $ f(x,y) = e^(xy) + x - y - 1 $ e poi ha applicato dini.. mi chiedo se l'equazione non fosse allora $ e^(xy) + x - y -1 = 0 $, anche perchè in questo caso sarebbe soddisfatta per (x,y) = (0,0), e dunque avrebbe senso dimostrare ...

Ciao a tutti! Ho un problema con questo integrale $ int int e^x xy dxdy $ dove D è il quadrato di vertici (0,1) (1,0) (0,-1) (-1,0). Il dominio non è normale rispetto all'asse x nè rispetto all'asse y per cui non posso applicare le formule di riduzione (giusto?). Forse bisogna applicare il teorema sul cambiamento di variabili in modo da rendere D normale all'asse x o y, ma non riesco proprio ad applicarlo!! Per favore mi dite come fare?? Sono disperata! Grazie mille

Se f(x) una funzione derivabile in (-4; 3) con f(-3) < 0 < f(2) allora:
(a) esiste un punto $c in (-3; 2)$ tale che f'(c) = 0;
(b) f è strettamente crescente in [3; 2];
(c) esiste un punto $c in (-3; 2)$ tale che f(c) = 0;
(d) f é strettamente decrescente in [-3; 2].
enunciare il teorema
secondo me è la c) quella giusta per il teorema della permanenza del segno dove f(a) f(b)

se an; $n in N$; sia una successione di numeri reali tale che
$an ·<=an+1<=2$ per ogni $ n in N$: Allora:
(a)$lim_(<n> -> <+oo >) a_n=1$
(b) nulla si puo dire sulla convergenza della successione an
(c) la successione an e divergente negativamente;
(d) esiste finito limite di $lim_(<n> -> <+oo >) a_n$
secondo me la risposta giusta è la c) perchè in questo caso la successione è decrescente se non sbaglio, però la b mi sembra anche giusta, qual è la vostra opinione?

Buongiorno a tutti, ho qualche difficoltà con il seguente problema di Cauchy:
u[size=75]III[/size] - u[size=75]II[/size] -5u[size=75]I[/size] -3u = $ e^{3t} $ +t
u(0)= -(4/9)
u[size=75]I[/size](0)= 2/3
u[size=75]II[/size](0)=0
(perdonate la scrittura, non ho ancora imparato molto...)
dunque io ho risolto il polinomio caratteristico trovando tre soluzioni: (-1) con molteplicità 2 e (3) con molteplicità 1
quindi u(t) = a$ e^{-t} $ +bt ...
Salve ragazzi, questa volta il problema sorge con il Modulo
$f(x) = {(3|x|-1,if x<=1),(ax^2+bx+1,if x>1):}$
Per la continuità abbiamo
$\lim_{x \to \1^-}(3|x|-1) = 2$
$\lim_{x \to \1^+}(ax^2+bx+1) = a+b+1$
Quindi $a=1-b$
Allora sappiamo che $|x|= -x$ se $x<0$ e $|x|=x$ se $x>0$ e quindi
Adesso come devo trattare $3|x|-1$ per il calcolo della sua derivata?
Dato che $3|x|-1$ per $x<=1$ bisogna forse trattarla in due casi distinti? Ovvero ...
Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ derivabile
I) Si provi che se $\lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x) = -1$ allora $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = - \infty$
II) Si provi che se $\lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x)$ esiste e vale $L \in \bar{\mathbb{R}} $ e $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = -1$ allora $L=0$
III) Si provi che se $f$ è convessa allora esistono $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ e $\lim_{x \rightarrow - \infty} f'(x)$
Qualche idea ce l'ho ma mi sembrano tutte piuttosto informali...
Per esempio per il punto I) direi che in un intorno di $+\infty$ la derivata è negativa, ...