Limite di una strana funzione

[Matteooooo1]

Salve a tutti, preparandomi per gli esami mi è capitato di imbattermi in un esercizio come questo:



Ho capito che la funzione si comporta così:
se la x è diversa da 2,allora f(x)=1
se la x è 2 ,allora f(x)=0

Pero non riesco a capire quali sono i passaggi precisi da eseguire per determinare il valore del limite, voi che ne pensate?
Grazie in anticipo a tutti,
Matteo

P.S.: Il risultato è 1

[Lorin1]

Beh se dobbiamo calcolare $lim_(x->2)f(x)$ in pratica dobbiamo studiare la funzione quando si avvicina al punto di accumulazione come si comporta, dalla traccia forse si deve interpretare così lo studio $lim_(x->2^-)f(x) , lim_(x->2^+)f(x) = 1$ perchè in pratica io mi avvicino a 2, ma non ci arrivo proprio, quindi il risultato è sempre 1

[Matteooooo1]

Non ti seguo, come lo si ottiene questo 1? Cioè perché 1 e non 0 o un qualsiasi altro numero intorno a 2?

[Enrico84]

"Matteooooo":Non ti seguo, come lo si ottiene questo 1? Cioè perché 1 e non 0 o un qualsiasi altro numero intorno a 2?

Guarda che la funzione è definita nel punto $x=2$, ma non è continua in questo punto

[Matteooooo1]

Certo, c'è un "salto", manon capisco come ottenere questo 1 purtroppo

[dissonance]

$lim_{x\to2}f(x)=lim_{x\to2}1=1$ perché il limite di una funzione non dipende dal particolare valore che essa assume (se definita) nel punto in questione. Fine.

[Matteooooo1]

Quindi determinare un intorno di 2 per arrivare al risultato sarebbe stata una scelta sbagliata giusto?

[dissonance]

???
Forse vuoi dire: per giustificare il fatto che il limite esiste e vale 1, osserviamo che la $f(x)$ coincide in tutto un intorno di $2$ (escluso il punto $2$ stesso) con la funzione costante $1$. Quindi $f(x)$ ha lo stesso comportamento al limite della funzione costante $1$. Questa mi sembra una risposta corretta, in alternativa a quella di prima.

[Matteooooo1]

Non riesco prorpio a capire...
Allora tu hai fatto $ lim_(x -> 2) f(x) = lim_(x -> 2)1 = 1 $
Ma c'è anche zero per x = 2 quindi non dovrei tenere conto anche di $ lim_(x -> 2) f(x) = lim_(x -> 2)0 = 0 $ per arrivare al risultato?

[gugo82]

Non mi sovrappongo a dissonance, ma mi permetto di riportare un grafico della funzione.
[asvg]xmin=-1;xmax=4;ymin=-2;ymax=3;
axes("labels");
plot("1",-1,4);
dot([2,0]);
stroke="white";
dot([2,1]);[/asvg]
Ora forse si riesce a capire qualcosa in più dei discorsi fatti finora?

[dissonance]

Senti, mi sa che ti serve un bel ripasso di teoria. Ti enuncio un teorema che dovresti essere in grado di dimostrare:

Sia $I$ un intervallo e siano $f, g: I \to RR$; sia poi $x_0\inI$. Se $f(x)=g(x)$ per ogni $x != x_0$, allora o $lim_{x \to x_0}f(x)=lim_{x \to x_0}g(x)$ oppure entrambi i limiti non esistono.

[Matteooooo1]

Esatto è il grafico che avevo abbozzato io, il problema è che non capisco proprio come si arriva a 1, scusatemi se sono insistente è che non riesco a cavarne piede....

[gugo82]

Più che un teorema, qui mi pare si stia dimenticando una parte della definizione di limite...

Voglio dire, il valore del limite [tex]$\lim_{x\to x_0} f(x)$[/tex] prescinde dal valore di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] (ammesso e non concesso che [tex]$f$[/tex] sia definita in [tex]$x_0$[/tex]), ma dipende unicamente dai valori assunti dalla funzione intorno al punto [tex]$x_0$[/tex] d'accumulazione per l'insieme di definizione.*
Intorno a [tex]$x_0=2$[/tex] ma non in [tex]$2$[/tex], ossia in ogni insieme del tipo [tex]$]2-\delta ,2+\delta[ \setminus \{ 2\}$[/tex], la [tex]$f$[/tex] assume valore [tex]$1$[/tex]; se si prende [tex]$l=1$[/tex] allora è verificata la definizione di limite, ossia:

[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta_\varepsilon >0 :\quad \forall x\in ]2-\delta 2+\delta[ \setminus \{ 2\},\ |f(x)-1|<\varepsilon$[/tex],

con [tex]$\delta_\varepsilon =\varpsilon$[/tex] (ad esempio), perchè è [tex]$|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon$[/tex].
Quindi [tex]$\lim_{x\to 2} f(x)=1$[/tex].
Contento?


__________
* Almeno la definizione classica; a quanto ricordo, ad esempio, secondo alcuni il valore della $f$ in $x_0$ conta assai (chiedere a Luca.Lussardi).

[Matteooooo1]

Nel nostro caso le due f(x) e g(x) di cui parli a cosa si riferiscono?

[Matteooooo1]

In definitiva intorno ad x0 la funzione assumerà sempre valore 1 giusto?

[Matteooooo1]

Finalmente, un sincero grazie a tutti.

[Enrico84]

E' chiaro adesso?

[Matteooooo1]

Sisi