Parametrizzazione superficie

[marcook1]

Salve, vorrei sapere se qualcuno sa come parametrizzare(ed eventualmente come si ragiona per farlo) la superficie $y=f(z)=1+cos(z)$ che ruota intorno all'asse z per valori di $-pi

Io ragionando ho capito che questa superficie è in pratica una campana rovesciata e sono giunto alla conclusione (penso sbagliata perchè è solo una prova) che la parametrizzazione sia $r(t)=(pi sin \varphi cos \vartheta)i+(pi sin \varphi sin \vartheta)j+(1+cos \varphi)k$ con $0<\varphi
Grazie a chiunque voglia aiutarmi

[gugo82]

Superficie di rotazione, è abbastanza facile.

Innanzitutto immagina la situazione: sul piano [tex]$Ozy$[/tex] hai il grafico della funzione [tex]$f(z)$[/tex], ovvero la curva d'equazione scalare [tex]$y=1+\cos z$[/tex]; fissa un punto sulla curva [tex]$P=(0,1+\cos h, h)$[/tex] ed immagina di farlo ruotare intorno all'asse [tex]$z$[/tex]:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes();
plot("arcsin(x-1)-1.57",0,2);
plot("arcsin(1-x)+1.57");
text([0,0],"O",belowright);
text([3.8,0],"y",below);
text([0,3.8],"z",left);
text([-3,-1.5],"x",belowright);
text([1,1.57],"P",aboveright);
stroke="gray";
plot("0.5 x",-3,3);
stroke="red";
plot("0.152 x^2+0.2 x+1.22",-1,1);
stroke="orange";
dot([1,1.57]);[/asvg]
Ruotando, il punto [tex]$P$[/tex] descrive la circonferenza di centro [tex]$C=(0,0,z)$[/tex] e raggio [tex]$r=1+\cos z$[/tex] (della quale un arco è tracciato in rosso in figura): l'equazione vettoriale della circonferenza descritta da [tex]$P$[/tex] è:

[tex]$(1+\cos z) \cos \vartheta \ \underline{\rm{i}} + (1+\cos z)\sin \vartheta \ \underline{\rm{j}} +z \ \underline{\rm{k}}$[/tex]

con [tex]$\vartheta \in [0,2\pi]$[/tex].
Ora, se lasci [tex]$h$[/tex] libero di variare in [tex]$[-\pi ,\pi]$[/tex] ottieni la tua bella equazione della superficie, ossia:

[tex]$[0,2\pi]\times [-\pi ,\pi] \ni (\vartheta ,h) \mapsto (1+\cos h) \cos \vartheta \ \underline{\rm{i}} + (1+\cos h)\sin \vartheta \ \underline{\rm{j}} +h \ \underline{\rm{k}} \in \mathbb{R}^3$[/tex].

Beh... questa non parte proprio dalla curva che hai fissato, però questo si può recuperare scambiando i ruoli dei coefficienti di [tex]$\underline{\rm{i}}$[/tex] e [tex]$\underline{\rm{j}}$[/tex].

[marcook1]

Grazie mille per l'aiuto, ho capito come procedere