Teorema di dini - esercizio

[enr87]

è data l'equazione

$ e^(xy) + x - y = 0 $

si chiede di dimostrare che definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno di (0,0).

qui ho un problema, ovvero non so se ho copiato male l'equazione o se non ho capito qualcosa: nella risoluzione dell'esercizio il prof ha posto $ f(x,y) = e^(xy) + x - y - 1 $ e poi ha applicato dini.. mi chiedo se l'equazione non fosse allora $ e^(xy) + x - y -1 = 0 $, anche perchè in questo caso sarebbe soddisfatta per (x,y) = (0,0), e dunque avrebbe senso dimostrare l'esistenza di g(x).
grazie

[vict85]

Beh... Non ha senso fare le derivate direzionali di una equazione. Si definisce una funzione ed è questa che definisce implicitamente una funzione nei punti in cui si azzera.
Quindi prima hai la funzione f(x,y), dopo di che guardi se nel punto dato la funzione si azzera e poi applichi Dini...

[dissonance]

@enr: Ferme restando le giuste considerazioni di vict, io penso semplicemente che il professore abbia sbagliato a scrivere la traccia: l'equazione non è $e^(xy)+x-y=0$ ma $e^(xy)+x-y=1$.

[enr87]

scusate, ma lui ci ha dato più di un esercizio con questa traccia: "dimostrare che l'equazione * definisce implicitamente una funzione y=g(x) in un intorno di (*,*)". allora il linguaggio sarebbe scorretto?

[dissonance]

No, no. Vict diceva che se l'equazione non è soddisfatta in un punto, non ha senso fare partire il motore del teorema del Dini intorno a quel punto. Il linguaggio del tuo prof è corretto.