Continuità di una funzione Modulo

[visind]

Salve ragazzi, questa volta il problema sorge con il Modulo

$f(x) = {(3|x|-1,if x<=1),(ax^2+bx+1,if x>1):}$

Per la continuità abbiamo

$\lim_{x \to \1^-}(3|x|-1) = 2$
$\lim_{x \to \1^+}(ax^2+bx+1) = a+b+1$

Quindi $a=1-b$

Allora sappiamo che $|x|= -x$ se $x<0$ e $|x|=x$ se $x>0$ e quindi

Adesso come devo trattare $3|x|-1$ per il calcolo della sua derivata?

Dato che $3|x|-1$ per $x<=1$ bisogna forse trattarla in due casi distinti? Ovvero

$3|x|-1 = 3x-1$ la cui derivata è $2$ se $0 $3|x|-1 = -3x-1$ la cui derivata è $2$ se $x<0$

E' un'idea, ma dubito sia esatta...

[misanino]

"visind":Salve ragazzi, questa volta il problema sorge con il Modulo

$f(x) = {(3|x|-1,if x<=1),(ax^2+bx+1,if x>1):}$

Per la continuità abbiamo

$\lim_{x \to \1^-}(3|x|-1) = 2$
$\lim_{x \to \1^+}(ax^2+bx+1) = a+b+1$

Quindi $a=1-b$

Allora sappiamo che $|x|= -x$ se $x<0$ e $|x|=x$ se $x>0$ e quindi

Adesso come devo trattare $3|x|-1$ per il calcolo della sua derivata?

Dato che $3|x|-1$ per $x<=1$ bisogna forse trattarla in due casi distinti? Ovvero

$3|x|-1 = 3x-1$ la cui derivata è $2$ se $0 $3|x|-1 = -3x-1$ la cui derivata è $2$ se $x<0$

E' un'idea, ma dubito sia esatta...

Per la continuità hai fatto bene.
Ora per la derivabilità devi anche studiare la derivabilità in 0, cioè dove il modulo cambia segno (e infatti in 0 non verrà derivabile la tua funzione)
Infatti se $x<0$ allora la funzione è $-3x-1$ la cui derivata è -3.
Invece se $0 Come vedi le 2 derivate sono diverse.
Ora se vuoi che la tua funzione sia derivabile nel punto $x=1$ allora devi imporre che questa seconda derivata (cioè 3) sia uguale al limite della derivata di $(ax^2+bx+1)$ per x che tende a 1

[Seneca1]

La traccia dell'esercizio qual'è?

[visind]

"Seneca":La traccia dell'esercizio qual'è?

Questa


$\lim_{x \to \1^-}(3|x|-1) = 2$
$\lim_{x \to \1^+}(ax^2+bx+1) = a+b+1$

a)determinare la condizione sui parametri $a$, $b$ $in R$ anche la funzione sia continua su
tutto R;
(b) per quali valori dei parametri $a$, $b$ la funzione è derivabile in ($0$;+$infty$)?
(c) Dire se esiste una scelta dei parametri $a$, $b$ tali che la funzione sia derivabile su tutto $R$.

[visind]

Ora se vuoi che la tua funzione sia derivabile nel punto $x=1$ allora devi imporre che questa seconda derivata (cioè 3) sia uguale al limite della derivata di $(ax^2+bx+1)$ per x che tende a 1

Casomai vorresti dire che la derivata è 3 a cui però bisogna sottrarre 1 e quindi devo imporre 2 al limite della derivata di $(ax^2+bx+1)$.

Insomma verrebbe se non erro $2=4a+b$ -> $b=2-4a$

Dopodichè metto a sistema tale uguaglianza con quelle dei limiti delle funzioni iniziali.

[misanino]

"visind":[/quote]
Ora se vuoi che la tua funzione sia derivabile nel punto $x=1$ allora devi imporre che questa seconda derivata (cioè 3) sia uguale al limite della derivata di $(ax^2+bx+1)$ per x che tende a 1

Casomai vorresti dire che la derivata è 3 a cui però bisogna sottrarre 1 e quindi devo imporre 2 al limite della derivata di $(ax^2+bx+1)$.

Insomma verrebbe se non erro $2=4a+b$ -> $b=2-4a$

Dopodichè metto a sistema tale uguaglianza con quelle dei limiti delle funzioni iniziali.[/quote]

E perchè mai dovresti togliere 1?
La derivata è 3 e basta perchè la derivata di 1 (come la derivata di ogni costante) è 0

[visind]

E perchè mai dovresti togliere 1?
La derivata è 3 e basta perchè la derivata di 1 (come la derivata di ogni costante) è 0

....Ogni tanto mi annego in un bicchier d'acqua. Che banalità assurda!!!!
Scusate

[visind]

a)determinare la condizione sui parametri $a,b in R$ anche la funzione sia continua su
tutto $R$;
(b) per quali valori dei parametri $a,b$ la funzione è derivabile in $(0;+infty)?
(c) Dire se esiste una scelta dei parametri $a,b$ tali che la funzione sia derivabile su tutto $R$.

Una volta verificata la continuità e la derivabilità mettendo a sistema le due funzioni l'esercizio è finito?

In un caso come questo bisogna operare allo stesso modo?

(a) determinare per quali valori dei parametri $a, b in R$ la funzione è derivabile in $x = \pi$ ;
(b) per tali valori dei parametri, determinare massimo e minimo assoluti di $f$ sull’intervallo
$[0, 2\pi]$.

[dissonance]

@visind: E' meglio se modifichi il post precedente scrivendo le formule con ASCIIMathML (mettendo i simboli del dollaro all'inizio e alla fine) . Così com'è non va bene, ci sono dei caratteri non visualizzati correttamente. E poi è poco lavoro, ci vorranno trenta secondi.

[visind]

Chiedo scusa...