Analisi matematica di base

Ciao a tutti, ho un dubbio con un esercizio riguardante la ricerca dei massimi e minimi in una funzione a due variabili. La traccia mi chiede di individuarli in un disco di centro l'origine e raggio pari a 2. Ho iniziato quindi a studiare (dopo aver svolta l'intera parte precedente) i punti di frontiera e la relativa restrizione ottenendo 2cost-2sent. Supponendo tale funzione g(t) la derivata prima è maggiore di 0 se -2cost-2sent>0 cioè se sent+cost

Salve, sono un po arrugginito con le sommatorie, qualcunio potrebbe spiegarmi come fare per calcolare $sum_(i=1)^N sum_(j != i) x_(i,j)$ con $i!=j$ da 1 fino a N per entrambe le somme, con valore costante della x. (Dovrebbe dare come risultato N(N-1) oppure N(N-1)/2).

Ciao ragazzi, spero abbiate passato una buona Pasqua. Ma fra il capretto e la colomba si annida un limite da calcolare con Taylor: \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-\sin (x^2)-2\cos x}{e^x-1+\ln (1-x)+\dfrac{x^3}{6}}. \) Ho scritto gli sviluppi di tutte quelle funzioni arrestandomi al secondo ordine: \( \sin (x^2)=x^2+o(x^2) \) \( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \) \( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \) \( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2). \) Per cui: \( \displaystyle\lim_{x\to 0} ...

data $a in [-sqrt(2),sqrt(2)]$ e $f(x)=(x+a)^2+ln(x)-(1-ln(2))/2$ , $x>0$ determinare gli zeri di $f(x)$ al variare di $a$ e individuare per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $f(x)*f''(x)>0$ Ho provato a risolverlo ma non riesco a venire ad una soluzione: posto i passaggi del mio ragionamento: $lim_(x->0^+) f(x)=-infty$ e $lim_(x->+infty) f(x)=+infty$ se $a>0$ $f'(x)=2(x+a)+1/x>0$ $AAx>0$ e dunque $f(x)$ ha un solo zero. se ...

Le funzioni di 2 variabili da $ R^2 $ a $ R $ , ad esempio un cilindro parabolico di equazione $ y - x^2 $ , è suriettivo? Grazie

Ho il problema di Cauchy \begin{cases} u'=u\log(u)+\sin^{2}(t+u)\\ u(0)=4 \end{cases} Secondo voi si può usare il teorema del confronto[nota]l'enunciato che ho a disposizione: $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{2}$ aperto, $I$ intervallo, $t_{0}\in I$ e $f,g:\Omega\to \mathbb{R}$ localmente lip in $y$ unif in $t$. Se per ogni $t\in I$ si ha \[ u'(t)\le f(t,u(t)) \quad v'(t)\ge g(t,v(t)) \qquad \forall t\in I \] e \[ f(t,u(t))\le g(t,u(t)) ...

Sia $f(x$) una funzione definita in $ℝ$ che soddisfa $$ f(x + y) = f(x) + f(y) $$ $$∀ x, y ∈ ℝ$$ Si provi che 1) $f(0) = 0$ 2) $f(x − y) = f(x) − f(y)$ per ogni $x, y$ 3) Se f è continua in 0 allora è continua in $ℝ$ Io ho fatto cosi: 1) $f(x+0) = f(x) + f(0)$ $f(0) = f(x) - f(x) = 0$ 2) $f(x) = f[(x - y) + y] = f(x-y) + f(y)$ da cui $f(x-y) = f(x) - f(y)$ 3) Sinceramente non mi viene in mente alcuna idea che ...

Salve a tutti Sto svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione e ho poca esperienza, mi piacerebbe sapere se ho svolto il tutto correttamente o meno. Risolvere il seguente problema di Cauchy $ { ( 4/3*y'-2xy=(e^(x^2+x))/((e^(2x)+1)(y)^(1/3))),( y(0)=((pie)/4)^(3/4) ):} $ Svolgimento: Sicuramente mi aspetto l'esistenza di una soluzione almeno locale visto che coefficienti e termine noto sono tutti funzioni continue. Inoltre impongo sin da subito che deve essere $y(x) != 0 AA x in I$ che è un generico intorno di ...

Scrivo perché ho difficoltà a comprendere l'algebra dei limiti non finiti. Leggo sul mio eserciziario, ossia "Esercizi e complementi di analisi matematica " volume primo di E.Giusti, che per il calcolo dei limiti non esiste nessun procedimento esatto: si formula una congettura e si procede eventualmente a dimostrarla. Questo mi crea qualche difficoltà perché non ho idea di come procedere, andando a tentoni. Delle volte seguo pedissequamente le regole (teoremini) mostrate sul libro di teoria ma ...

Ho un ulteriore dubbio riguardante lo sviluppo di Taylor. In particolare, non mi viene questo limite: $ lim_(x -> 1) (x^(1/(1-x))-e^-x)/(x-1) $ Il mio ragionamento: Ponendo y=1-x si ha: $ lim_(y -> 0) ((1-y)^(1/(y))-e^(y-1))/-y $ $ =lim_(y -> 0)(e^(log(1-y)/y)-e^(y-1))/-y =$ $ =lim_(y -> 0)(e^((-y-y^2/2+o(y^2))/y)-1-y+1+o(y))/-y =$ $= lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y))-y+o(y))/-y= $ $ lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y)))/-y+1+(o(y))/y =$ $=lim_(y -> 0)(-y/2+o(y))/-y+1=3/2 $ Ma il risultato del libro è $ 3/(2e) $ Cosa sbaglio?

Scusate ragazzi, ho un dubbio enorme che riguarda le forme indeterminate, in particolare, $ 1^∞ $ . Ma se, in seguito alle operazioni di calcolo di un limite, venisse un numero diverso da uno elevato alla infinito, come mi dovrei comportare? Sarebbe anch'essa una forma indeterminata analoga? Es. $ lim_(x ->∞)(2+1/x)^x $ In questo caso, se applicasse le regole dell'algebra dei limiti, verrebbe proprio una forma di quel tipo, che è diversa da $ 1^∞ $ del limite notevole di ...

Ciao a tutti. E' un po' che non bazzico il forum e me ne torno con una domanda un po' stupida. Ieri stavo leggendo un passo di cui mi appresto a citare il testo: Our problem is to find the stationary value of $s^2 = \sum a_{ik} q_i q_k$ under the auxiliary condition the we move on the surface $\sum b_{ik}q_iq_k = 1$. We drop the auxiliary condition and minimize $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} \sum b_{ik}q_iq_k$. La funzione da minimizzare non dovrebbe essere invece $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} ( \sum b_{ik}q_iq_k -1)$ ? Preciso che, ...

1) If $a$ and $b$ are complex numbers, prove that: a) $|a - b|^2 <= (1 + |a|^2)(1 + |b|^2)$ b) If $a != 0$, then $|a + b| = |a| + |b|$ if, and only if, $b/a$ is real and nonnegative. 2) If $a$ and $b$ are complex numbers, prove that $|a-b|=|1-\bar(a)b|$ if, and only if, $|a| = 1$ or $|b| = 1$. For which $a$ and $b$ is the inequality $|a - b| < |1 - \bar(a)b|$ valid? Per l'1-b), ...

Ho dubbi sullo sviluppo di Taylor di $ ln(1+sin(2/x)) $ (x tende a infinito, quindi il centro è 0) Il mio ragionamento è il seguente: $ ln (1+sin(2/x))= sin (2/x) -(sin^2(2/x))/2+ o(sin^2(2/x)) $ $ sin (2/x)=2/x-4/(3x^3)+o(1/x^4) $ $ sin^2 (2/x)=4/x^2+o(1/x^3) $ Mettendo tutto insieme, ottengo: $ ln (1+sin(2/x))=2/x-4/(3x^3)-2/x^2+o(1/x^3) $ Ma il risultato sul libro è: $ ln (1+sin(2/x))=2/x+4/(3x^3)-2/x^2+o(1/x^3) $ E non ne capisco proprio il motivo...

Ciao, ho trovato su MyMatlab della Pearson il seguente limite di successione \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\frac{(\log{n})^{300}}{n}}=0 \] ho provato a vedere su geogebra il grafico della funzione \[ f(x)=\frac{\log{(x)^{13}}}{x} \] che allego a questo messaggio e che sembra tendere a infinito. Successione e funzione non dovrebbero avere lo stesso comportamento in questo caso? Geogebra non sembra accettare valori troppo grandi per l'esponente, allora ho usato 13. Ho provato a usare le ...

Proprietà di Hausdorff: sia $(X,d)$ uno spazio metrico e siano $x,y \in X$. Se $x \ne y$, allora esiste $r > 0$ tale che $B(x,r) \cap B(y,r) = \emptyset$. Dimostrazione (del testo): poniamo $r = \frac{1}{3} d(x,y)$. Sia $z \in B(x,r)$, e valutiamo $d(y,z)$. Si ha per la diseguglianza triangolare e la simmetria, $3r = d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq r + d(y,z)$, da cui $d(y,z) \geq 2r$. Quindi $z \notin B(y,r)$. Cosa ho compreso: si vuole dimostrare la proprietà supponendo $z \in B(x,r)$ per poi ...

Mi chiedevo: [*:bce4a75w] è sempre possibile definire una struttura di spazio metrico dato un insieme qualsiasi non vuoto? Il testo suggerisce di sì, ma non ne fornisce una dimostrazione. D'altra parte a me non viene in mente alcun controesempio (e ciò non è significativo naturalmente).[/*:m:bce4a75w] [*:bce4a75w] non si può definire una metrica come una funzione in $\mathbb{R}_{0}^{+}$? Che conseguenze si hanno se si definisce la distanza in modo che sia ...

Buonasera a tutti, vorrei chiedervi se è corretto questo che vi scrivo su questo limite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$$ E' giusto concludere che il limite è $1$ perchè sia il numeratore che il denominatore sono infiniti di ordine $\frac{1}{2}$?

salve, stavo provando a risolvere il seguente limite: $ lim_(x -> 0) (1/x^2 - sin(x)/x^3) $ ho provato a usare il principio di sostituzione degli infinitesimi trasformando sin(x) in x, a questo punto semplifico $ x/x^3 $ e rimane $ 1/x^2 - 1/x^2 = 0 $ quindi il limite mi risulta 0, andando a controllare online il limite risulta uguale a 1/6, non capisco cosa abbia sbagliato, sospetto di aver usato in modo illecito la regola di sostituzione ma non ne capisco il motivo, grazie in anticipo per chi mi sa ...

Salve a tutti! Mi servirebbe un aiuto per risolvere il seguente esercizio: Calcolare $$\iiint\limits _T \frac{z^3}{(z^2x^2+y^2)^{3/2}} \,dx\,dy\,dz $$ Essendo $T$ l'insieme $$T=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: 1\le z^2 x^2 + y^2 \le 4\,,x\ge 1\,, y \ge 0\,, 1\le z \le 2 \}$$ L'insieme mi suggerisce di integrare per sezioni di piede $z$, e così ho fatto. (Probabilmente se utilizzo le ...