Analisi matematica di base

Ciao RobBobMob, La serie geometrica è la seguente: $\sum_{n = 0}^{+\infty} z^n = 1/(1 - z) $ per $|z| < 1 $. La sua derivata è la seguente: $\sum_{n = 1}^{+\infty} n z^{n - 1} = z/(1 - z)^2 $

Salve a tutti ho un dubbio riguardante il calcolo delle derivate parziali di questa funzione in \( \mathbb{R}^2 \) : \[ f(x_1,x_2) := \begin{cases} x_1-x_2 &\text{, quando } x_1\geq0 \text{ o } x_2\geq0 \\ 0 &\text{, quando } x_1

Ciao a tutti, ho un dubbio con un esercizio riguardante la ricerca dei massimi e minimi in una funzione a due variabili. La traccia mi chiede di individuarli in un disco di centro l'origine e raggio pari a 2. Ho iniziato quindi a studiare (dopo aver svolta l'intera parte precedente) i punti di frontiera e la relativa restrizione ottenendo 2cost-2sent. Supponendo tale funzione g(t) la derivata prima è maggiore di 0 se -2cost-2sent>0 cioè se sent+cost

Salve, sono un po arrugginito con le sommatorie, qualcunio potrebbe spiegarmi come fare per calcolare $sum_(i=1)^N sum_(j != i) x_(i,j)$ con $i!=j$ da 1 fino a N per entrambe le somme, con valore costante della x. (Dovrebbe dare come risultato N(N-1) oppure N(N-1)/2).

Ciao ragazzi, spero abbiate passato una buona Pasqua. Ma fra il capretto e la colomba si annida un limite da calcolare con Taylor: \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{2-\sin (x^2)-2\cos x}{e^x-1+\ln (1-x)+\dfrac{x^3}{6}}. \) Ho scritto gli sviluppi di tutte quelle funzioni arrestandomi al secondo ordine: \( \sin (x^2)=x^2+o(x^2) \) \( \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \) \( e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) \) \( \ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2). \) Per cui: \( \displaystyle\lim_{x\to 0} ...

data $a in [-sqrt(2),sqrt(2)]$ e $f(x)=(x+a)^2+ln(x)-(1-ln(2))/2$ , $x>0$ determinare gli zeri di $f(x)$ al variare di $a$ e individuare per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $f(x)*f''(x)>0$ Ho provato a risolverlo ma non riesco a venire ad una soluzione: posto i passaggi del mio ragionamento: $lim_(x->0^+) f(x)=-infty$ e $lim_(x->+infty) f(x)=+infty$ se $a>0$ $f'(x)=2(x+a)+1/x>0$ $AAx>0$ e dunque $f(x)$ ha un solo zero. se ...

Le funzioni di 2 variabili da $ R^2 $ a $ R $ , ad esempio un cilindro parabolico di equazione $ y - x^2 $ , è suriettivo? Grazie

Ho il problema di Cauchy \begin{cases} u'=u\log(u)+\sin^{2}(t+u)\\ u(0)=4 \end{cases} Secondo voi si può usare il teorema del confronto[nota]l'enunciato che ho a disposizione: $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{2}$ aperto, $I$ intervallo, $t_{0}\in I$ e $f,g:\Omega\to \mathbb{R}$ localmente lip in $y$ unif in $t$. Se per ogni $t\in I$ si ha \[ u'(t)\le f(t,u(t)) \quad v'(t)\ge g(t,v(t)) \qquad \forall t\in I \] e \[ f(t,u(t))\le g(t,u(t)) ...

Sia $f(x$) una funzione definita in $ℝ$ che soddisfa $$ f(x + y) = f(x) + f(y) $$ $$∀ x, y ∈ ℝ$$ Si provi che 1) $f(0) = 0$ 2) $f(x − y) = f(x) − f(y)$ per ogni $x, y$ 3) Se f è continua in 0 allora è continua in $ℝ$ Io ho fatto cosi: 1) $f(x+0) = f(x) + f(0)$ $f(0) = f(x) - f(x) = 0$ 2) $f(x) = f[(x - y) + y] = f(x-y) + f(y)$ da cui $f(x-y) = f(x) - f(y)$ 3) Sinceramente non mi viene in mente alcuna idea che ...

Salve a tutti Sto svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione e ho poca esperienza, mi piacerebbe sapere se ho svolto il tutto correttamente o meno. Risolvere il seguente problema di Cauchy $ { ( 4/3*y'-2xy=(e^(x^2+x))/((e^(2x)+1)(y)^(1/3))),( y(0)=((pie)/4)^(3/4) ):} $ Svolgimento: Sicuramente mi aspetto l'esistenza di una soluzione almeno locale visto che coefficienti e termine noto sono tutti funzioni continue. Inoltre impongo sin da subito che deve essere $y(x) != 0 AA x in I$ che è un generico intorno di ...

Scrivo perché ho difficoltà a comprendere l'algebra dei limiti non finiti. Leggo sul mio eserciziario, ossia "Esercizi e complementi di analisi matematica " volume primo di E.Giusti, che per il calcolo dei limiti non esiste nessun procedimento esatto: si formula una congettura e si procede eventualmente a dimostrarla. Questo mi crea qualche difficoltà perché non ho idea di come procedere, andando a tentoni. Delle volte seguo pedissequamente le regole (teoremini) mostrate sul libro di teoria ma ...

Ho un ulteriore dubbio riguardante lo sviluppo di Taylor. In particolare, non mi viene questo limite: $ lim_(x -> 1) (x^(1/(1-x))-e^-x)/(x-1) $ Il mio ragionamento: Ponendo y=1-x si ha: $ lim_(y -> 0) ((1-y)^(1/(y))-e^(y-1))/-y $ $ =lim_(y -> 0)(e^(log(1-y)/y)-e^(y-1))/-y =$ $ =lim_(y -> 0)(e^((-y-y^2/2+o(y^2))/y)-1-y+1+o(y))/-y =$ $= lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y))-y+o(y))/-y= $ $ lim_(y -> 0)(e^(-1-y/2+o(y)))/-y+1+(o(y))/y =$ $=lim_(y -> 0)(-y/2+o(y))/-y+1=3/2 $ Ma il risultato del libro è $ 3/(2e) $ Cosa sbaglio?

Scusate ragazzi, ho un dubbio enorme che riguarda le forme indeterminate, in particolare, $ 1^∞ $ . Ma se, in seguito alle operazioni di calcolo di un limite, venisse un numero diverso da uno elevato alla infinito, come mi dovrei comportare? Sarebbe anch'essa una forma indeterminata analoga? Es. $ lim_(x ->∞)(2+1/x)^x $ In questo caso, se applicasse le regole dell'algebra dei limiti, verrebbe proprio una forma di quel tipo, che è diversa da $ 1^∞ $ del limite notevole di ...

Ciao a tutti. E' un po' che non bazzico il forum e me ne torno con una domanda un po' stupida. Ieri stavo leggendo un passo di cui mi appresto a citare il testo: Our problem is to find the stationary value of $s^2 = \sum a_{ik} q_i q_k$ under the auxiliary condition the we move on the surface $\sum b_{ik}q_iq_k = 1$. We drop the auxiliary condition and minimize $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} \sum b_{ik}q_iq_k$. La funzione da minimizzare non dovrebbe essere invece $\sum a_{ik}q_iq_k - \frac 1 {\lambda} ( \sum b_{ik}q_iq_k -1)$ ? Preciso che, ...

1) If $a$ and $b$ are complex numbers, prove that: a) $|a - b|^2 <= (1 + |a|^2)(1 + |b|^2)$ b) If $a != 0$, then $|a + b| = |a| + |b|$ if, and only if, $b/a$ is real and nonnegative. 2) If $a$ and $b$ are complex numbers, prove that $|a-b|=|1-\bar(a)b|$ if, and only if, $|a| = 1$ or $|b| = 1$. For which $a$ and $b$ is the inequality $|a - b| < |1 - \bar(a)b|$ valid? Per l'1-b), ...

Ho dubbi sullo sviluppo di Taylor di $ ln(1+sin(2/x)) $ (x tende a infinito, quindi il centro è 0) Il mio ragionamento è il seguente: $ ln (1+sin(2/x))= sin (2/x) -(sin^2(2/x))/2+ o(sin^2(2/x)) $ $ sin (2/x)=2/x-4/(3x^3)+o(1/x^4) $ $ sin^2 (2/x)=4/x^2+o(1/x^3) $ Mettendo tutto insieme, ottengo: $ ln (1+sin(2/x))=2/x-4/(3x^3)-2/x^2+o(1/x^3) $ Ma il risultato sul libro è: $ ln (1+sin(2/x))=2/x+4/(3x^3)-2/x^2+o(1/x^3) $ E non ne capisco proprio il motivo...

Ciao, ho trovato su MyMatlab della Pearson il seguente limite di successione \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}{\frac{(\log{n})^{300}}{n}}=0 \] ho provato a vedere su geogebra il grafico della funzione \[ f(x)=\frac{\log{(x)^{13}}}{x} \] che allego a questo messaggio e che sembra tendere a infinito. Successione e funzione non dovrebbero avere lo stesso comportamento in questo caso? Geogebra non sembra accettare valori troppo grandi per l'esponente, allora ho usato 13. Ho provato a usare le ...

Proprietà di Hausdorff: sia $(X,d)$ uno spazio metrico e siano $x,y \in X$. Se $x \ne y$, allora esiste $r > 0$ tale che $B(x,r) \cap B(y,r) = \emptyset$. Dimostrazione (del testo): poniamo $r = \frac{1}{3} d(x,y)$. Sia $z \in B(x,r)$, e valutiamo $d(y,z)$. Si ha per la diseguglianza triangolare e la simmetria, $3r = d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq r + d(y,z)$, da cui $d(y,z) \geq 2r$. Quindi $z \notin B(y,r)$. Cosa ho compreso: si vuole dimostrare la proprietà supponendo $z \in B(x,r)$ per poi ...

Mi chiedevo: [*:bce4a75w] è sempre possibile definire una struttura di spazio metrico dato un insieme qualsiasi non vuoto? Il testo suggerisce di sì, ma non ne fornisce una dimostrazione. D'altra parte a me non viene in mente alcun controesempio (e ciò non è significativo naturalmente).[/*:m:bce4a75w] [*:bce4a75w] non si può definire una metrica come una funzione in $\mathbb{R}_{0}^{+}$? Che conseguenze si hanno se si definisce la distanza in modo che sia ...

Buonasera a tutti, vorrei chiedervi se è corretto questo che vi scrivo su questo limite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$$ E' giusto concludere che il limite è $1$ perchè sia il numeratore che il denominatore sono infiniti di ordine $\frac{1}{2}$?