Struttura di spazio metrico e definizione di distanza

[universo1]

Mi chiedevo:

[*:bce4a75w] è sempre possibile definire una struttura di spazio metrico dato un insieme qualsiasi non vuoto? Il testo suggerisce di sì, ma non ne fornisce una dimostrazione. D'altra parte a me non viene in mente alcun controesempio (e ciò non è significativo naturalmente).[/*:m:bce4a75w]
[*:bce4a75w] non si può definire una metrica come una funzione in $\mathbb{R}_{0}^{+}$? Che conseguenze si hanno se si definisce la distanza in modo che sia suriettiva?[/*:m:bce4a75w][/list:u:bce4a75w]

[gugo82]

"universo":Mi chiedevo:

[*:1hkh5jfl] è sempre possibile definire una struttura di spazio metrico dato un insieme qualsiasi non vuoto? Il testo suggerisce di sì, ma non ne fornisce una dimostrazione. D'altra parte a me non viene in mente alcun controesempio (e ciò non è significativo naturalmente).[/*:m:1hkh5jfl][/list:u:1hkh5jfl]

Se $X$ è non vuoto puoi porre $d(x,y):=\{(0, ", se " x=y), (1, ", se " x!=y):}$.
Controlla che $d$ è una metrica su $X$.

"universo":

[*:1hkh5jfl] non si può definire una metrica come una funzione in $\mathbb{R}_{0}^{+}$? Che conseguenze si hanno se si definisce la distanza in modo che sia suriettiva?[/*:m:1hkh5jfl][/list:u:1hkh5jfl]

Una metrica è per definizione una funzione in $[0,+oo[$, quindi non capisco la domanda.
Per la seconda, ci sono metriche suriettive e non suriettive, quindi non fa differenza.

[vict85]

Non cambia nulla. Però anche io penso che sia meglio definire la funzione distanza come una funzione \(d\colon X\times X\to \mathbb{R}\) e poi imporre \(d(x_1, x_2 ) \ge 0\).

Per prima cosa penso che scritto così sia più leggibile e si dia più peso alla positività. Inoltre la scrittura \(\mathbb{R}^+_0\) richiederebbe di essere definita a parte ed è meno universale di quanto pensi.

Inoltre, la dimostrazione della non-negatività potrebbe essere necessaria per alcune definizioni della funzione distanza e non essere ovvia. In questo caso risulta più comodo avere una condizione esplicita.

Infine, cosa succederebbe se si decidesse di usare una condizione diversa?

P.S.: Mi sono accorto ora che un'ultima ragione per cui si fa è che la simmetria e la disuguaglianza triangolare implicano la non negatività. Quindi non è strettamente necessario richiedere la non negatività.

[universo1]

@vict85 ha ben compreso la mia perplessità.
@gugo82: mi sono convinto proprio con la metrica discreta che fosse sempre possibile definire una struttura di spazio metrico. Pensavo agli insiemi non numerici più che altro.