Dimostrare proprietà della seguente funzione

[Dracmaleontes]

Sia $f(x$) una funzione definita in $ℝ$ che soddisfa
$$ f(x + y) = f(x) + f(y) $$ $$∀ x, y ∈ ℝ$$

Si provi che
1) $f(0) = 0$
2) $f(x − y) = f(x) − f(y)$ per ogni $x, y$
3) Se f è continua in 0 allora è continua in $ℝ$

Io ho fatto cosi:
1) $f(x+0) = f(x) + f(0)$
$f(0) = f(x) - f(x) = 0$

2)
$f(x) = f[(x - y) + y] = f(x-y) + f(y)$
da cui $f(x-y) = f(x) - f(y)$

3) Sinceramente non mi viene in mente alcuna idea che sembri funzionare, qualche consiglio?

[gugo82]

Per 1 e 2, ok.

Per 3, osserva che $|f(x) - f(x_0)| = |f(x-x_0)|=|f(x-x_0) - f(0)|$ ed usa la continuità in $0$ per concludere.

***

Puoi continuare l'esercizio mostrando che:

4) per ogni $n in NN$ ed ogni $x in RR$, $f(nx) = nf(x)$;

5) per ogni $n in ZZ$, $f(n) = n f(1)$;

6) per ogni $n in ZZ$ e $n != 0$, $f(1/n) = 1/n f(1)$;

7) per ogni $m/n in QQ$, $f(m/n) = m/n f(1)$.

[Dracmaleontes]

Ok provo la 3 allora, grazie del suggerimento, mi hai acceso la lampadina
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ è l'ipotesi

Allora, se $x0$ è un elemento di $\mathbb{R}$,

$\lim_{x \to x0} f(x) = \lim_{x \to x0} f(x-x0) + \lim_{x \to x0} f(x0) =$

$=\lim_{y \to 0} f(y) + f(x0)$ $[y = x - x0]$

$= 0 (Hp) + f(x0) = f(x0)$

Provo anche le altre proposte:
4) $f(nx) = f(x+....+x) = f(x)+....+f(x) = nf(x)$

5) $f(n) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = nf(1)$

Da qui in poi non so se siano giuste:
6) $f(frac{1}{n}) = f((1+...+1)^(-1)) = (n)^-1f(x)$ (Per la 5)

7)$f(frac{m}{n}) = frac{m}{1+...+1} = frac{1}{n}f(m)$ (Per la 6)
$frac{m}{n}f(1)$ per la 5)

[gugo82]

"Dracmaleontes":Ok provo la 3 allora, grazie del suggerimento, mi hai acceso la lampadina
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ è l'ipotesi

Allora, se $x0$ è un elemento di $\mathbb{R}$,

$\lim_{x \to x0} f(x) = \lim_{x \to x0} f(x-x0) + \lim_{x \to x0} f(x0) =$

$=\lim_{y \to 0} f(y) + f(x0)$ $[y = x - x0]$

$= 0 (Hp) + f(x0) = f(x0)$

Io avrei usato gli $epsilon$ ed i $delta$... Infatti, dato che per ipotesi e per 1 hai:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ |y| |f(y)| < epsilon$

comunque fissi $x_0 in RR$ ottieni:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ |x-x_0| |f(x) - f(x_0)| = |f(x-x_0)| < epsilon$

(il che suggerisce anche che $f$ è uniformemente continua in $RR$).

"Dracmaleontes":Provo anche le altre proposte:
4) $f(nx) = f(x+....+x) = f(x)+....+f(x) = nf(x)$

Ok l'idea, ma bisogna usare l'induzione.

"Dracmaleontes":5) $f(n) = f(1+...+1) = f(1)+...+f(1) = nf(1)$

Questa è conseguenza di 4.

"Dracmaleontes":Da qui in poi non so se siano giuste:
6) $f(frac{1}{n}) = f((1+...+1)^(-1)) = (n)^-1f(x)$ (Per la 5)

No.

Però sai che $f(1) = f(n*1/n)$ e che valgono la 4 e la 5...

"Dracmaleontes":7)$f(frac{m}{n}) = frac{m}{1+...+1} = frac{1}{n}f(m)$ (Per la 6)
$frac{m}{n}f(1)$ per la 5)

Questa è conseguenza di 4, 5 & 6.

***

Inoltre:

8) se $f$ è continua, allora $f(x) = mx$ per un unico $m\in RR$.