Forme differenziali e significato fisico/geometrico

[psykp]

Salve a tutti, è il primo messaggio che posto nel forum e ciò che mi ha spinto a farlo è un dubbio che sto avendo durante lo studio delle forme differenziali in analisi 2, ciò che non mi è chiaro è cosa mi rappresenta una forma differenziale, i $dx$ e $dy$ $dz$ che compaiono sono differenziali? e se lo sono che significato hanno? Inoltre, nel calcolo di un integrale curvilineo di una forma differenziale scrivo i suddetti $dxn$ come $x'(t)dt$ ossia dalla relazione $dx/dt$ = $x'(t)$ è come se moltiplicassi il differenziale del tempo ambo i membri, ma ciò non ha senso matematicamente, ovviamente non è la prima volta che lo vedo succedere, capita spesso in fisica ma in analisi matematica speravo ci sarebbe stata una spiegazione a questa operazione strana di usare la simbologia di derivata come se fosse una frazione tra differenziali.
Inoltre ho capito il significato geometrico dell'integrare una forma differenziale lungo una curva e anche quello fisico di lavoro compiuto dal campo che ha come componenti i coefficienti della forma su un punto p che si muove lungo gamma ha il suo senso, invece mi risulta meno chiaro il significato di integrare una funzione lungo una curva, o meglio credo di averlo concettualizzato nel modo giusto, ma stavolta non ne intuisco l'utilità fisica, sempre se ne ha una o si tratta di un semplice mezzo matematico per risolvere altri problemi

[apatriarca]

È difficile chiarire ogni tuo dubbio in un singolo post. Partirei tuttavia dalla fine, il significato/utilità che hanno in fisica. Per prima cosa è probabilmente possibile affrontare buona parte della fisica ignorando le forme differenziali. In effetti i corsi basi di fisica tendono a farlo, usando campi vettoriali per quantità che hanno proprietà diverse e che sarebbe più opportuno definire usando le forme differenziali (o tensori di vario grado). In fisica si tende a parlare di forme differenziali come campi vettoriali covarianti. La particolarità di questi vettori è che vengono trasformati diversamente dai classici vettori controvarianti (come la velocità o lo spostamento) nel caso di cambio di coordinate. Esempi sono di solito costruiti attraverso il gradiente o il prodotto scalare (in questo caso però si lavora di solito con 2-forme differenziali che sono qualcosa di più avanzato rispetto a quello che hai visto).

U'altra caratterizzazione fisica delle forme differenziali è quello di pensare ad esse come a "qualcosa che misura" piuttosto che a qualcosa che "viene misurato". In questo caso stai pensando alla forma differenziale come al suo integrale lungo ad una qualche curva. Il significato fisico non è dato ovviamente, dipende dalla particolare formula, ma si tratta in generale del calcolo di una qualche misura da associare al tuo moto. È perfettamente possibile che una qualche costruzione matematica non abbia comunque alcun senso "fisico".

La formula \(dx = x'(t)\,dt\) non viene dai calcoli algebrici che hai scritto, ma dalle formule di cambio di variabile delle forme differenziali. Stai insomma calcolando il differenziale della funzione \(x(t)\) che è uguale a \( x'(t)\,dt \) praticamente per definizione. \(dx\), \(dy\) e \(dz\) sono i differenziali delle funzioni che restituiscono le diverse coordinate.

[anto_zoolander]

Vorrei aggiungere una cosa, sono parecchio affezionato a questo argomento

Le forme differenziali(quantomeno quelle lineari) sono funzioni del tipo $omega:UsubsetRR^n->(RR^n)^(star)$,dove $U$ è un aperto, ovvero che associano ad un punto un funzionale lineare $w(x):RR^n->RR$

a prima vista sembra una cosa sterile ma prova a guardarla in questo modo:
prendi una applicazione $f:UsubsetRR^n->RR$ differenziabile allora il differenziale sarà $df:U->(RR^n)^(star)$
se scegli una base di $RR^n$, sia essa $B={e_1,...,e_n}$ e associ la corrispondente base duale $B^(star)={e_1^(star),...,e_n^(star)}$, dove $e_i^(star)(e_j)=delta_(ij)$, si ha che puoi scrivere

$df(x)=sum_(i=1)^(n)a_k(x)e_i^(star)$

per delle funzioni $a_1,...,a_n:U->RR$. Questo perchè $B^(star)$ è una base del duale e $df(x)$ è un elemento di tale spazio.

a questo punto sai che per una applicazione differenziabile vale $df(x)h=(partialf)/(partialh)(x)$ e in particolare si ottiene

$(partialf)/(partialx_k)(x)=df(x)e_k=sum_(i=1)^(n)a_i(x)e_i^(star)(e_k)=sum_(i=1)^(n)a_i(x)delta_(ik)=a_k(x)$

ovvero ottieni che per ogni $x in U$ vale $(partialf)/(partialx_k)(x)=a_k(x)$ da cui

$df(x)=sum_(i=1)^(n)(partialf)/(partialx_i)(x)e_i^(star)$

ora possiamo notare che $e_i^(star)$, che è l'applicazione che manda un vettore nella sua i-esima coordinata, è differenziabile e il differenziale coincide con la funzione stessa.

ora solitamente si pone $e_i^(star):=dx_i$
il motivo è dato dal fatto che $e_i^(star)$ manda un vettore nella sua i-esima coordinata quindi è una buona notazione mettere $x_i$ in una sua possibile scrittura. Per quanto riguarda la presenza di $d$ è motivata dal fatto che il differenziale in un punto di una applicazione lineare è l'applicazione stessa ovvero, detta $L$ una applicazione lineare, si ha $L(x+h)-L(x)=L(h)$ e quindi $dL(x)=L$. Con un piccolo abuso si pone proprio $L:=dL$

l'abuso sta nel fatto che $dL$ è una applicazione che manda un punto in una funzione, mentre $L$ manda un vettore in un altro.

Quindi il tutto diventa $df=sum_(i=1)^(n)(partialf)/(partialx_k)dx_k$

questo è il motivo per cui ti può spuntare una scritta come $omega(x,y)=x^2dx-log(xy)dy$
inoltre l'esattezza di una forma è proprio il concetto principale, ovvero che esiste una funzione per cui $df=omega$ e per cui i coefficienti risultano le derivate parziali.

Il discorso è analogo quando hai le curve e consideri tipo $dr(t)=r'(t)dt$ che è sempre una forma differenziale.
Un altro posto dove puoi trovarle è anche nel calcolo delle lunghezze

$intsqrt(dx^2+dy^2)=intsqrt(dot(x)^2(dt)^2+dot(y)^(2)(dt)^2)=intsqrt(dot(x)^2+dot(y)^2)dt$

questo perchè $dt:RR->RR$ e quindi puoi applicargli le solite funzioni che conosci, fare prodotti ecc

inoltre il significato $(dr)/(dt)=r'$ è una notazione comoda che indica $(dr)/(dt)=r' <=> dr=r'dt$

[psykp]

Grazie mille a entrambi, credo di aver risolto i miei dubbi, inoltre andando avanti in particolare facendo gauss-green ho colto l'utilità almeno in questo ambito delle forme, la dimostrazione purtroppo non l'ho capita perchè non ci è stata spiegata la dualità nel corso di algebra che a mio parere è stato molto basic, sebbene abbia affrontato gli argomenti principali il mio professore non ha trattato molti argomenti come la geometria affine, la geometria proiettiva e le coniche, ma sto rimediando con il Geometria 1 del Sernesi con cui mi trovo abbastanza bene; a proposito voi cosa ne pensate di questo volume? perchè risolti questi dubbi avrei intenzione di comprare anche il volume di geometria 2 anche se non è nel mio programma perchè trovo la topologia e la geometria differenziale molto interessanti