Analisi matematica di base

Ciao a tutti, stavo affrontando il seguente esercizio: (intendo ovviamente \(\displaystyle z\in\mathbb{C} \)) Dimostrare che la serie \(\displaystyle \sum_{n\ge1} \frac{nz^n}{1-z^n}\) converge uniformemente su ogni palla chiusa \(\displaystyle |z|\le c, \ 0

Ciao, nel libro "Lezioni di Analisi Matematica I" di S. Lancelotti, ho trovato la seguente osservazione: "Siano $f: dom(f)\rightarrow R$ una funzione pari (oppure dispari) e $0$ un punto di accumulazione per $dom(f)$. Allora si ha che" \[ f\hspace{0.3cm}pari \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{f(x)} \\ f\hspace{0.3cm}dipari \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^-}{f(x)}=-\lim_{x\rightarrow 0^+}{f(x)} \] Chiede per esercizio di dimostrarlo. Se prendo la ...

Buonasera a tutti, nel dimostrare il teorema di integrazione per le serie di funzioni, una volta verificate le ipotesi del teorema di passaggio al limite sotto integrale, ottengo $\int_a^blim_ns_n(x)dx=\int_a^b\sum_{k=0}^infty f_k(x)dx=lim_n\int_a^bs_n(x)dx$. Come dimostro che l'ultimo termine è uguale a $\sum_{k=0}^infty \int_a^b f_k(x)dx$? Grazie in anticipo!

Con lo studio sono un po' indietro, tutavia sto seguendo delle videolezioni e c'è, in questa prima analisi e trascrizione, un dubbio sul metodo del titolo. Ho capito la logica del metodo, tuttavia il metodo illustrato mi pare mnemonicamente a me impossibile da trattenere nelle meningi, noto molti casi e sottocasi e trattandosi di un metodo abbastanza "meccanico" mi pare non ci sia molto da capire e per questo non riesco a ricordarlo. Vorrei chiedere se il metodo a me illustrato, in cui ho un ...

Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questo esercizio. La funzione è $ f(x;y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+2$, mi chiede di determinare la natura del punto $P(0;0)$ (deve venire punto di sella). Dunque,il determinante della matrice Hessiana viene zero,per cui è necessario applicare la definizione. Di sicuro $x^4$ e $y^4$ sono sempre positivi mentre $-2x^2$ e $-2y^2$ sempre negativi (il 2 scompare applicando la formula). Il problema si presenta per ...

Svolgendo lo studio di una funzione implicita mi sto perdendo nel calcolo di questo limite: $lim_(y->-infty)ln(x+y)-x-2y$ la soluzione riporta $+infty$ e ad occhio e in velocità direi che è $+infty$ poichè domina $-2y$. Tuttavia mi sono accorto che $ln(-infty)$ non è definito e non riesco a capire come aggirare il problema e dimostrare il risultato. Grazie

Ciao, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questo esercizio per favore? Quello che ho capito io è che la condizione P ci dice solamente che la derivata della funzione è continua in 0. Ciò non vuol dire che è derivabile in 0. Giusto? Però non riesco a trovare un esempio del genere. Inoltre il testo dice che la funzione non è derivabile in 0, mentre l'esercizio 2 dice di trovare una condizione che insieme a P faccia sì che esista la derivata prima calcolata in 0. Quello che non capisco qui è: se ...

Ciao Vorrei mostrare (DImostrare) che dato un integrale definito $\int_a^bf(x)dx=0; \AAa,b <=> f(x)=0$, è una mia supposizione, però mi sembra valere in generale. Per quanto semplice non ho la più pallida idea di come svolgere una dimostrazione del genere (sempre se vale)

Buon pomeriggio a tutti, ho un dubbio riguardante l'algebra dei limiti che sono sicuro possiate chiarirmi. Premesso che $lim f(x)*g(x)=lim f(x)*lim g(x)=l_1*l_2$, supponendo che $l_1*l_2=k$, è corretto affermare che $l_1=k/l_2$? Grazie in anticipo!

Buongiorno, ho difficoltà a dimostrare la convergenza uniforme della serie geometrica nell'intervallo aperto $I=(-1,1)$. Posto $s_n(x)=(1-x^(n+1))/(1-x)$, si dimostra banalmente che $AAx\inI$ $s(x)=lim_(n to infty)s_n(x)=1/(1-x)$. Resta quindi da dimostrare che $lim_(n to infty)"sup"|s_n(x)-s(x)|=0$ $AAx\in[-1+\epsilon,1-\epsilon]$. Come potrei procedere senza perdermi in calcoli inutili? Non riesco a capire quale sia il giusto ragionamento da seguire .

Buongiorno, spero di aver azzeccato la sezione giusta del forum. Potete aiutarmi a trovare i passaggi per arrivare dalla formula in alto a quella cerchiata di rosso? Ho provata con le formule di Eulero ma arrivato a un certo punto mi blocco. Grazie $x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (C_1 e^{i \bar{\omega} t} + C_2 e^{- i \bar{\omega} t})$ $\bar{\omega} = sqrt{1 - \zeta^2} \omega_n$ $x(t) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} cos(\bar{\omega} t - \varphi)$ ${(C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2}),(\varphi =arctan(\frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2})):}$

ripassando mi sono imbattuto in questo esercizio che non sono sicuro io abbia risolto correttamente. data $f(x)=[(e^|sinx|-1)*ln(1+x)]/(x^(alpha)*(sinx)^(5/3)]$ definita in $(0,+infty)$ verificare che tale funzione è integrabile nei punti $x=kpi$ indipendentemente dal valore di $alpha$. usando gli asintotici ho trovato che $f(x)~ |sinx|/(sinx)^(5/3)$ e dunque per $x->(kpi)^-$ $f(x)~ sinx/(sinx)^(5/3)=+infty$ mentre $x->(kpi)^+$ $f(x)~ -sinx/(sinx)^(5/3)=-infty$ e quindi a meno del segno $f(x)~ 1/(sinx)^(2/3)$ e posto $sinx=t$ si ...

Salve! Qualcuno ha idea di come svolgere questo questo integrale? $ int(3x^2+x-2)/((x^2+1)(x-1)^3)dx $ Ho tentato in diverse maniere, ma qualunque strada si rivela fallimentare In particolar modo ho provato a scriverlo così: $ 3int((x+1)(x-2/3))/((x^2+1)(x-1)^3)dx $ ma da qui non vedo come uscirne, inoltre ho tentato anche di vederlo come somma di integrali, ma il problema del denominatore troppo grande permane. Integrare per parti non mi sembra migliori la situazione, e ho tentato con la sostituzione t=x-1, ma di nuovo mi ...

Salve a tutti, mi interessava sapere se esiste un metodo per fare il seguente esercizio senza calcolare direttamente l'integrale essendo molto difficile: Devo calcolare la lunghezza della seguente curva parametrica su $[0,\pi]$ $(cos(t)/(t+1),sin(t)/(t+1),t)$ Ho notato che è semplice, regolare e aperta su tale intervallo ma non so proprio come calcolare la lunghezza essendo l'integrale complicato. Qualche consiglio? $\int ((t+1)^2+1)/(t+1)^4+1 dt$ su $[0,\pi]$

Buonasera a tutti, dovrei discutere il carattere delle seguenti serie con il criterio dell'infinitesimo: 1) $sum_{n=2}^{+infty} \frac{1}{n^2 \log n}$ 2) $sum_{n=2}^{+infty} \frac{1}{\sqrt{n} \log n}$ 3) $sum_{n=1}^{+infty} \sin(1/n^3)$ Per la 1) : $\frac{n^\alpha}{n^2 log(n)}=\frac{n^{\alpha-2}}{log n}$ Avevo pensato $\alpha=2$ ma il limite è 0! E non va bene! Come si procede? Per la 2) : $\frac{n^\alpha}{sqrt{2} log(n)}=\frac{n^{\alpha-\frac{1}{2}}}{log n}$ Anche qui avevo pensato a $\alpha=\frac{1}{2}$, ma ho lo stesso problema! Mentre per la 3) con $\alpha=3$ ottengo il limite notevole che va a 1 e quindi la serie converge. Giusto?

Ciao a tutti! Ho delle perplessità riguardo questo esercizio. La funzione è $ -sqrt{x^2 +y^2}$ e devo determinare la natura del punto $P(0;0)$,(deve venire un punto di minimo). Ho applicato la definizione dato che il determinante della matrice Hessiana in esso verrebbe zero,per cui mi trovo a sostituire il punto nella funzione di partenza. Chiaramente ottengo zero,cioè la funzione si annulla,quindi non capisco da cosa posso dedurre che esso sia un punto di minimo. E in particolare ...

Buongiorno a tutti, non mi è ben chiaro quale sia il procedimento più efficiente per trovare il $"sup"|f_n(x)-f(x)|$ nello studio della convergenza uniforme. Ad esempio, se $f_n = sin(nx)/n$ con $x in I=[0,1]$, dovrei calcolare $f'_n = 1/n*d/dx|sin(nx)|$ e studiarne l'andamento, dico bene? So che il seno è una funzione dispari, ma come potrei sfruttare tale proprietà? E in ogni caso, mi converrebbe? Studiando la derivata senza valutare la positività avrei $f'_n = sin(2nx)/(2|sin(nx)|)$ e lo studio della monotonia ...

C'è una affermazione del mio professore che non capisco, ossia: l'unione infinita di intervalli di covergenza uniforme non è, in generale, un intervallo di convergenza uniforme. Ho visto vari controesempi e mi hanno convinto , però non capisco il motivo di fondo. Intuitivamente infatti mi sembra che unendo intervalli con tale proprietà dovrebbero "Portare" la proprietà sull'intervallo frutto di unione. Ma per quale motivo la conv. uniforme no? Mi ha sbalordito. Ad ...

Siccome non ho trovato risposta e temo di non aver ricevuto per colpa di commettere un necroposting (ora eliminato e ho trasportato qui) preferisco creare un nuovo topic. Se ho errato qualcosa delle regole moderatemi pure Ho un dubio su questa discussione passata: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=207224 Mi piacerebbe porre una domanda sulla dimostrazione che non mi è chiara. L'ipotesi dell'OP è di avere (cito) $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+....$ $f(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)$ Ossia una funzione analitica f (cioè ...

Ciao, mi piacerebbe tediarvi (sì, sono sadico ) con tre domande che mi sono sorte leggendo il forum -prassi ormai quotidiana- attività che svolgo giusto per crearmi dubbi (sì, sono anche masochista ). Ci sto ragionando da un po' ma non riesco bene a uscirne con gli strumenti che ho, credo di fare qualche errore e vorrei giungere a una dimostrazione sicura. A parte gli scherzi, passando alla questione del post: 1) La prima domanda che mi pongo è se il principio di equivalenza dei polinomi sia ...