Dubbio sviluppo di Taylor

[19xx]

Ho dubbi sullo sviluppo di Taylor di $ ln(1+sin(2/x)) $ (x tende a infinito, quindi il centro è 0)
Il mio ragionamento è il seguente:
$ ln (1+sin(2/x))= sin (2/x) -(sin^2(2/x))/2+ o(sin^2(2/x)) $
$ sin (2/x)=2/x-4/(3x^3)+o(1/x^4) $
$ sin^2 (2/x)=4/x^2+o(1/x^3) $
Mettendo tutto insieme, ottengo:
$ ln (1+sin(2/x))=2/x-4/(3x^3)-2/x^2+o(1/x^3) $
Ma il risultato sul libro è:
$ ln (1+sin(2/x))=2/x+4/(3x^3)-2/x^2+o(1/x^3) $
E non ne capisco proprio il motivo...

[pilloeffe]

Ciao 19xx,

Beh, se poni $t := sin(2/x) $, si ha:

$ln(1 + t) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n - 1}/n t^n $

per $ - 1 < t <= 1 $

Devi sviluppare $sin^3(2/x) $ in modo che compaia il termine con $x^3 $...

[Mephlip]

"19xx":
$ ln (1+sin(2/x))= sin (2/x) -(sin^2(2/x))/2+ o(sin^2(2/x)) $

Trascuri il terzo termine del logaritmo $\frac{1}{3} \sin^3 (\frac{2}{x})$, che ti dà un termine del tipo $\frac{1}{x^3}$ rilevante quando sviluppato al primo ordine.

[19xx]

Ringrazio entrambi per la celere risposta
Effettivamente, sviluppando anche il terzo termine del logaritmo, i conti tornano.