Analisi matematica di base

Sto tentando di dimostrare che $S = \sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} (\frac{1}{n + z} + \frac{1}{n + 1 - z}) = \frac{\pi}{sin(\pi z)}$ ma senza successo. Ho pensato, mediante alcuni passaggi algebrici, di semplificare il termine generico della serie per arrivare a qualcosa di noto, ma non sono giunto ad alcuna conclusione. Distinguendo tra $n$ pari ($n -> 2n$) ed $n$ dispari ($n -> 2n - 1$): $S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} + \frac{1}{2n + 1 - z} -(\frac{1}{2n - 1 + z} + \frac{1}{2n - z})$ Riordinando i termini si ha che: $S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$ $= \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \sum_{n=0}^{infty}\frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$ ma a questo punto non saprei come continuare. Non so ...

Ciao a tutti. Che differenza c'è tra un corso di sistemi dinamici ed un corso di meccanica razionale? Sono due materie differenti, condividono solo qualche argomento, o sono la stessa cosa?

Salve, non riesco a comprendere la dimostrazione della disuguaglianza triangolare inversa. Il libro recita: Dalla disuguaglianza traingolare si può deddure che $ |x| = |(x-y)+y|<=|x-y|+|y|$ sottraendo y ad entrambe le parti $ |x|-|y|<=|x-y|$ e fin qui non ci son problemi. Poi, scambiando x ed y $|y|-|x|<=|x-y|$ $-|x-y|<=|x|-|y|<=|x-y| $ e poi si applica l'equivalenza della proprietà del valore assoluto. Tuttavia non riesco a capire i due ultimi passaggi scritti con le disequazioni. Come fa a scambiare x ...

Sto cercando di dimostrare che la metrica \(\displaystyle d_p(f,g):=\left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) definita sull'insieme delle funzioni di classe $C^{(0)}[a,b]$ a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), tenda a \(\displaystyle \max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \) per \(\displaystyle p\to\infty \). La cosa non è così banale come nell'analogo caso di metrica su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), almeno per me. Quello che ho provato a fare è questo. Siccome \(\displaystyle ...

Salve a tutti, è il primo messaggio che posto nel forum e ciò che mi ha spinto a farlo è un dubbio che sto avendo durante lo studio delle forme differenziali in analisi 2, ciò che non mi è chiaro è cosa mi rappresenta una forma differenziale, i $dx$ e $dy$ $dz$ che compaiono sono differenziali? e se lo sono che significato hanno? Inoltre, nel calcolo di un integrale curvilineo di una forma differenziale scrivo i suddetti $dxn$ come ...

svolgendo gli esercizi mi sono imbattuto in questi due casi: $1)$ $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$ trovo che un punto stazionario è $x=0,y=0$ e costruendo la matrice Hessiana $H=[[-4,4],[4,-4]]$ e poichè $detH=0$ non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella. $2)$ $f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)$ trovo che i punti stazionari sono $(0,0)$ e $(1/2,1/3)$. per $(1/2,1/3)$ ho calcolato che esso è un punto di ...

Salve a tutti sto svolgendo il seguente integrale di cui non ho soluzione e vorrei sapere se individuate errori $int int_(A) (1+y-x)dxdy$ dove $A={(x,y) in RR^2 : arcsinx+arcsiny<=pi/2 }$ Il mio risultato è $7/4pi$ Svolgimento: Dato la presenza di quei scomodi $arcsin$ faccio la sostituzione $x=sint$ $y=sinr$ So che dato che le variabili sono argomento dell'arcsin si ha $-1<=x<=1$ e $-1<=y<=1$. Il determinante della mia Jacobiana è $|costcosr|$ Ma ...

Salve Ragazzi, ho la funzione $ f(x,y)=x^2y^2-yln(x) $ e devo trovare massimi/minimi relativi e assoluti. Il procedo così: 1) Calcolo il gradiente della funzione e le pongo uguale a zero trovando i punti stazionari della funzione: $ gradf(x,y)=(0,0) -> { ( 2xy^2-y/x=0 ),( 2x^2y-ln(x)=0 ):} $ da cui ottengo-> $->P(1)={ ( x=e ),( y=1/(2e^2) ):} $ e $ P(2)={ ( x=1 ),( y=0 ):} $ 2) Costruisco la matrice Hessiana con le derivate seconde e calcolo il determinante: $He(x,y)= [ ( 2y^2+y/x^2 , 4xy-1/x ),( 4xy-1/x , 2x^2 ) ] $ da cui semplificando $det|He(x,y)|=10y-8x^2y^2-1/x $ 3) Studio l'Hessiana nei punti precedentemente ...

sulle funzioni di 2 variabili non mi sono chiari alcuni aspetti che spero qualcuno possa chiarirmi: ad esempio data $F(x,y)=x^3y+x^3-x^2y$ il punto $(0,0)$ è tale che il $det$ della matrice Hessiana è nullo. in questo caso come si procede per determinare il segno( voglio capire come si usa questo metodo) di $f(x,y)$ e dunque studiare in un intorno di $(0,0)$ il comportamento di $f$? invece in questi due altri esempi ho proprio le idee ...

Buongiorno, ho un dubbio che non riesco a risolvere rispetto a questo esercizio di matematica computazionale (che però si rispecchia in Analisi 1) E' dato il metodo di iterazione funzionale $x_(k+1) = g(x_k)$ con $g(x)=(1/4)e^(x^3)$ e $f(x)=-x^3+log(4x$). Chiamati $h_1$ e $h_2$ i due zeri di $f(x)$ non mi è chiaro perchè per $x_0$ in $[1<a,h_2]$ la successione ${x_k}$ diverge verso $h_1$ mentre per $x_0$ in ...

Devo calcolare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)$ Calcolando le derivate prime parziali arrivo ad avere il seguente sistema $\{(2xe^-(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)=0),(2ye^-(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)=0):}$ ma a questo punto non riesco a risolvere il sistema. Mi sembra molto complesso. Grazie

Buonasera, ho da calcolare il seguente limite $ lim_(0,0) sin(x^2+y^2)/sqrt(x^2+2y^2) $. Si effettuano le moltiplicazioni e divisioni per poter sfruttare il limite notevole sul seno arrivando a $ sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)*(x^2+y^2)/sqrt(x^2+2y^2) $. La "prima parte" è appunto il limite notevole (che fa 1), la "seconda parte" sfrutta il teorema sulle a-omogenee con a>0. Ciò che non capisco è come il professore abbia fatto a dire che la funzione $(x^2+y^2)/sqrt(x^2+2y^2) $ è limitata sull'intersezione tra la sfera di raggio 1 e il suo dominio (ipotesi del teorema).

Salve ragazzi qualcuno può aiutarmi a svolgere questo problema? Il perimetro di un parallelogrammo è di 316 cm, AH misura 40 cm ed è 2/3 di HB. Calcola l'area in decimetri quadrati

Salve ragazzi qualcuno può aiutarmi a svolgere questo problema? Il perimetro di un parallelogrammo è di 316 cm, AH misura 40 cm ed è 2/3 di HB. Calcola l'area in decimetri quadrati

Esercizio: dire se $|x - y|^2$ è una metrica in $\mathbb{R}$. Svolgimento: [*:1t7pimaf]$|x -y|^2 \geq 0$ per definizione;[/*:m:1t7pimaf] [*:1t7pimaf]$|x -y|^2 = 0 \Leftrightarrow x = y$ vien da sé;[/*:m:1t7pimaf] [*:1t7pimaf]$|x -y|^2 = |y - x| ^2$ è naturalmente vera per definizione;[/*:m:1t7pimaf] [*:1t7pimaf]$|x -y|^2 = |(x -z) + (z -y)|^2 \leq |x - z|^2 + |z -y| ^ 2$[/*:m:1t7pimaf][/list:u:1t7pimaf] A me risulta che la funzione assegnata sia una metrica, ma sul testo è scritto il contrario. Devo essere cascato su di una qualche banalità come ...

Una funzione è definita in un punto $x_0$ se è noto il valore $y_0: f(x_0) = y_0$; Una funzione è continua in punto $x_0$ se $\lim_{x \to x_0-} f(x) = \lim_{x \to x_0+} f(x) = f(x_0)$; Di conseguenza, una funzione definita in un dato punto è sempre in esso continua, giusto? Non a caso ho sempre ricercato i punti di discontinuità in punti di accumulazione per il dominio, come ad esempio gli estremi dell'insieme di definizione nel caso in cui questo sia aperto e limitato. Non capisco però, a livello pratico, quali ...

Prima di cominciare, riporto la definizione che sto utilizzando io di k-manifold in $\mathbb{R}^n$: un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle ...

Scrivo qui tre esercizi(senza aprire tre post differenti) di cui non riesco ad arrivare a una soluzione: (se ci fossero errori scusatemi ma ci ho messo moltissimo a scriverle in codice). $1)$ sia $g:RR->RR$ continua e $f:RR^2->RR$ così definita $f(x,y)={((xe^y-ye^x)/(x-y),if x!=y),(g(x),if x=y):}$ determinare se esiste $g$ tale che $f$ risulti continua in $RR^2$. Determinare se $f$ è differenziabile in $(0,0)$ Poiché non riesco a svolgere la ...

Salve ragazzi. In vista di un prossimo esame universtiario, mi verrà chiesto di calcolare, grosso modo, la derivata ed il dominio di una funzione come questa: - 2x^3 + 6 e^x + log10 (x^3-5). Ora, procedendo con le mie conoscenze, già al logaritmo mi blocco, poichè credo (e qui chiedo conferma) che vada operato un cambio di base. Per quanto riguarda il Dominio in R, ho svolto l'esercizio nel seguente modo: -2x^3 definito in tutto R, poichè è un polinomio. -e^x definito anch'esso in ...

Ciao a tutti. Mi sono imbattuto, leggendo un libro in inglese di analisi complessa, nelle cosiddette funzioni univalenti. Volevo sapere se questo termine (univalente) è semplicemente un sinonimo di iniettività, oppure ha un significato diverso e più preciso? Grazie anticipatamente a tutti.