Analisi matematica di base

Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) e consideriamo il sistema seguente \[ \left\{\begin{matrix} x &= &f(y) \\ y &= &f(z) \\ z &= &f(x) \end{matrix}\right. \] i) Dimostra che il sistema possiede un'unica soluzione su \( \mathbb{R} \) se \(f \) è continua e decrescente. ii) Sia \( f(x) = e^{-\sinh(x-1)} \) trova la soluzione del sistema. iii) Dimostra che il sistema possiede un'unica soluzione su \( \mathbb{R} \) se \(f \) è continua e tale che \(f^k=f \circ \ldots \circ f \) è una ...

Buonasera a tutti, stavo studiando la funzione $ abs (x+2) e^(arctg(x+2)) $ e studiando il comportamento agli estremi, ho $ lim_{ x to +infty } (abs (x+2) e^(arctg(x+2)))/x= +infty $ . Poi trovo $ m=lim_{ x to +infty } (abs (x+2) e^(arctg(x+2)))/x= e^(pi/2) $ . Nell'ultimo limite $ q=lim_{ x to +infty } (abs (x+2) e^(arctg(x+2))) - xe^(pi/2) $ mi blocco. Mi trovo zero, e guardando sulla calcolatrice grafica, il risultato dovrebbe essere $ e^(pi/2) $ . Come si procede per calcolare questo limite?

Buonasera a tutti, Ho la funzione $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$ Mi si chiede di trovare e dimostrare per induzione una formula generale per la derivata $n$-esima $f^{(n)}(x)$. Calcolando ho trovato: $f'(x)=\frac{2}{(1-x)^2}$ $f''(x)=\frac{4}{(1-x)^3}$ $f'''(x)=\frac{12}{(1-x)^4}$ $f^{(4)}(x)=\frac{48}{(1-x)^5}$ Perciò ipotizzo $f^{(n)}(x) =\frac{\square}{(1-x)^{n+1}} $ dove $\square$ è la formula esplicita della progressione $2,4,12,48,\ldots$ che non riesco a trovare. Qualcuno riesce per favore a trovare una formula per ...

Ciao a tutti, studiando per analisi 2 mi sono imbattuto in questo integrale triplo in coordinate sferiche e non so proprio dove mettere le mani: $\int int int_E dxdydz$ con $E=\{(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z^2<=4,z<=1\}$ conosco le coordinate sferiche ma non riesco a trovare tra quanto variano le nuove variabili. Grazie in anticipo per l'aiuto!

( Teorema di Dirichlet ) Una serie converge incondizionatamente se e solo se converge assolutamente. $[$ Se ciò non accade `e possibile riordinare gli elementi della serie in modo da cambiare il carattere della serie, e anche in modo da ottenere una serie convergente ad un qualsiasi numero assegnato $c$, o divergente a $+infty$ oppure a $-infty$ $]$ sto cercando la dimostrazione della sezione tra $[... ]$ soprattutto per i ...

Salve dovrei risolvere questo limite con gli sviluppi di Taylor, possibilmente inserendomi anche i vari o piccoli: $ lim_(x -> 0) (arcsen(sqrt(1/2+xcost-xsent))-pi/4)/x $ Ho provato a risolverlo con Hopital e il risultato viene cost-sent. Il problema è che non riesco a trovarmi con Taylor poiche fermandomi al primo ordine dello sviluppo dell'arcoseno il limite viene infinito. Grazie in anticipo a tutti voi!

Data $f:I->R$ convessa con $I$ intervallo aperto devo dimostrare che il rapporto incrementale è monotona crescente $AA x_0 in I-{x_0}$ Mi manca il caso in cui $x_1<x_2<x_0$ Devo dimostrare che $f(x_2)>=f(x_0)+[(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0)]*(x_2-x_0)$ $f(x)>=f(x_2)+m(x_2)(x-x_2)$ (corretta?) Da cui $[f(x_1)-f(x_2)]/(x_1-x_2)<=m(x_2)<=[f(x_0)-f(x_2)]/(x_0-x_2)$ E quindi $f(x_0)+[(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0)]*(x_2-x_0)$ $=$ $f(x_1)+[(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0)]*(x_2-x_1)$ $<=f(x_2)+m(x_2)(x_2-x_1)$ $<=f(x_2)$ Sono molto indeciso su questo ultimi passaggi... Potete darmi una mano? Grazie

Buonasera a tutti, sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma. Sono due giorni che provo a risolverne due senza riuscire nell'intento 1)\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}\bigg(3-3\cos\bigg(\frac{n^2}{n^4+4}\bigg)\bigg) \end{equation*} 2)\begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4n)^{2n}}{\binom{4n}{2n}} \end{equation*} La prima dovrebbe convergere a zero, ho fatto il limite del termine ...

Salve, sto provando a svolgere questo integrale di cui non ho risultato ma credo di aver sbagliato in qualche passaggio che non riesco proprio a individuare. L'integrale è $int int_{D} x/(x^2+y^2)^2dxdy$ con $D={(x,y) in RR^2| x^2+y^2<=1, y>= 1-x}$ Ho fatto il mio disegno per rappresentare il dominio che passando alle polari $x=rcosz, y=rsinz$ mi da come estremi di integrazione $0<=z<=pi/2$ e $1/(cosz+sinz)<=r<=1$ Il determinante della Jacobiana è come noto $r$ allora $int_{0}^{pi/2}dz*int_{1/(cosz+sinz)}^{1} cosz/r^2dr$ $int_{0}^{pi/2}cosz*[1/(cosz+sinz)-1]dz$ Dunque ...

salve a tutti, ho due domande a cui non riesco a trovare una risposta certa quindi chiedo il vostro aiuto. L'esistenza delle derivate parziali del primo ordine e delle derivate direzionali implica la continuità della funzione? Che relazione c'e tra differenziale, gradiente e derivata direzionale? grazie a chi risponderà.

Salve a tutti, ho svolto questo integrale di cui non ho soluzione, per cui avrei bisogno di una correzione (e di eventuali osservazioni per farlo in modo più intelligente / veloce ) Il mio risultato è $2pi +2ln(2)-5$ $ int int_D(2x+y)/(x^2+y^2) dx dy $ Dove $D$ è il dominio contenuto nel primo quadrante, delimitato dall'arco di circonferenza $y=sqrt(1-x^2)$ e dalle rette $y=2-x$, $y=0$, $x=0$ Mi viene inoltre richiesto ...

Buongiorno a tutti! Dato il seguente problema: $coiugate(z)^-4=|z|$ , esiste un strada più semplice e immediata alla classica sostituzione $z=a+ib$ ? Se sì, come? Sto provando a riscrivere il tuo sotto la forma esponenziale, ottenendo così: $r^(4)e^(-i4θ)-r=0$ , ho sbagliato? Grazie mille anticipatamente!

Ciao a tutti, sto studiando un argomento di meccanica e mi ritrovo un passaggio di questo tipo (vedere immagine) che non riesco a capire ... qualcuno sa aiutarmi??? grazie EDIT Facendo dei passi indietro forse qualcosina sono riuscito a capire ... questa è la formula iniziale: In ogni caso non mi torna quel 2 al denominatore

Buonasera a tutti, mi sto esercitando per l'esame di analisi sulla parte complessa e sto svolgendo queste due equazioni con molta difficoltà: $\log(z)-Log(1+i)=Log(-5)-i\frac{\pi}{2}$ dove Log è il logaritmo principale e $|z^3-i|=|\bar{z}^3+1|$ Per quest'ultima, poichè $\bar{z}^3=\bar{z^3}$ ho risolto l'equazione $|\omega-i|=|\bar{\omega}+1|$, ponendo $z^3=\omega$. Prendendo $\omega=x+iy$ ottengo come soluzione $x=-y$. E ora come si procede? Grazie in anticipo a chi mi aiuterà. Buona serata Amalia

Ciao, volevo chiedere come risolvereste questo integrale: Dove gamma é l’arco di circonferenza di centro (1,1) e raggio ; avente primo estremo in (2,1) e secondo estremo in (1,2).

"gugo82":Prendi una qualsiasi partizione e calcola esplicitamente le somme integrali inferiore e superiore secondo le definizioni. Quanto vengono? Gli insiemi descritti dalle somme superiori ed inferiori sono contigui o no? Tieni presente che $[a,b]=[0,1]$, che: $f(x):=\{(1, ", se " x \in QQ \cap [0,1]),(0, ", se " x \in [0,1]\setminus QQ):}$ e che, presa una decomposizione $D:=\{0=x_0,x_1,\ldots ,x_(N-1),x_N=1\}$, hai: $s(f; D) :=\sum_(i=1)^N "inf"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale inferiore, $S(f; D) :=\sum_(i=1)^N "sup"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale superiore. come mai l'estremo superiore delle ...

Ciao a tutti, come da titolo devo studiare la continuità della funzione integrale $F(x)=int_1^x (|t+2|-3)/(t^2-t+1) dt$ Usando il teorema fondamentale del calcolo integrale, se la funzione integranda $f(x)=(|t+2|-3)/(t^2-t+1)$ è limitata e integrabile in $\mathbb{R}$, allora $F(x)$ è continua in $\mathbb{R}$. Ho verificato che la funzione $f(x)$ sia continua (e quindi integrabile) e limitata, quindi $F(x)$ dovrebbe essere continua su tutto $\mathbb{R}$. Avevo provato, ...

Salve a tutti ragazzi, ho problemi a studiare la forma differenziale. In realtà il mio problema è determinarne il dominio in quanto non sono mai riuscito a comprendere la definizione di insieme connesso. Ecco la forma differenziale $w=1/((y-1)^2+(z-1)^2) dx -(2x(y-1))/[(y-1)^2+(z-1)^2]^2 dy - (2x(z-1))/[(y-1)^2+(z-1)^2]^2 dz$ A primo impatto mi verrebbe da dire che non vi sono "problemi" di dominio essendo somme certanente positive, ma potrei sbagliarmi, mi aiutereste per favore a capire come studiarne il dominio? Nel resto non credo di avere problemi, in quanto impongo ...

Sia ${x_n}$ e ${y_n}$ due successioni tali che $x_n <= y_n$ definitivamente e $x_n->k$ e $y_n->p$ allora $k <= p$ Devo dimostrare questo fatto ma non riesco: Scrivo la definizione di limite : Poiché $x_n->k$ allora dato $epsilon >0$ esiste $N'$ tale che $AA n>=N'$ $k-epsilon<x_n<k+epsilon$ Poiché $y_n->k$ allora dato $epsilon' >0$ esiste $N''$ tale che ...

Buonasera. Mi trovo davanti a questo limite che proprio non riesco a risolvere: $lim x->+∞ : [e^arctan(1/t) -e^(1/t)]*[t^4 -(t+1)^4]$. La forma indeterminata è $0*(∞-∞)$. Ho provato a sostituire la t con x, ma non si arriva a niente di proficuo, ho provato con i limiti notevoli ma niente, ho anche provato a prendere separatamente il secondo membro e a scomporlo, ma si arriva a $0*∞$. Mi rimane da provare solo Taylor, ma credo sia un calcolo proibitivo data la presenza di $t^4$. Potreste aiutarmi?