Problema con sostituzione degli infinitesimi
salve, stavo provando a risolvere il seguente limite: $ lim_(x -> 0) (1/x^2 - sin(x)/x^3) $ ho provato a usare il principio di sostituzione degli infinitesimi trasformando sin(x) in x, a questo punto semplifico $ x/x^3 $ e rimane
$ 1/x^2 - 1/x^2 = 0 $ quindi il limite mi risulta 0, andando a controllare online il limite risulta uguale a 1/6, non capisco cosa abbia sbagliato, sospetto di aver usato in modo illecito la regola di sostituzione ma non ne capisco il motivo, grazie in anticipo per chi mi sa rispondere
$ 1/x^2 - 1/x^2 = 0 $ quindi il limite mi risulta 0, andando a controllare online il limite risulta uguale a 1/6, non capisco cosa abbia sbagliato, sospetto di aver usato in modo illecito la regola di sostituzione ma non ne capisco il motivo, grazie in anticipo per chi mi sa rispondere
Risposte
Errore tipico... Perché ti fermi ad un'approssimazione al primo/secondo ordine senza tener conto del resto della formula di Taylor.
Dato che $sin x = x + "o"(x)$ al primo ordine, sostituendo nella funzione sotto limite trovi:
$lim_(x -> 0) 1/x^2 - (x + "o"(x))/x^3 = lim_(x -> 0) ("o"(x))/x^3$
che non è calcolabile; analogamente, se usi la formula al secondo ordine $sin x = x + "o"(x^2)$ trovi:
$lim_(x -> 0) 1/x^2 - (x + "o"(x^2))/x^3 = lim_(x -> 0) ("o"(x^2))/x^3$
che ancora non è calcolabile... E perciò, sorpresona!
Serve un'approssimazione d'ordine superiore.
Dato che $sin x = x + "o"(x)$ al primo ordine, sostituendo nella funzione sotto limite trovi:
$lim_(x -> 0) 1/x^2 - (x + "o"(x))/x^3 = lim_(x -> 0) ("o"(x))/x^3$
che non è calcolabile; analogamente, se usi la formula al secondo ordine $sin x = x + "o"(x^2)$ trovi:
$lim_(x -> 0) 1/x^2 - (x + "o"(x^2))/x^3 = lim_(x -> 0) ("o"(x^2))/x^3$
che ancora non è calcolabile... E perciò, sorpresona!
Serve un'approssimazione d'ordine superiore.
Ciao giggimarzullo,
Benvenuto sul forum!
Una volta fatto il denominatore comune, il limite proposto diventa uno di quelli già ampiamente discussi anche qui sul forum, a titolo esemplificativo ma certo non esaustivo ad esempio qui.
Segnalo altresì che nel caso del limite proposto è particolarmente veloce pervenire al risultato che hai già citato col teorema di Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} (x - sin(x))/x^3 \stackrel[H]{=} \lim_{x \to 0} (1 - cos(x))/(3x^2) = 1/3 \cdot \lim_{x \to 0} (1 - cos(x))/x^2 = 1/3 \cdot 1/2 = 1/6 $
Benvenuto sul forum!
Una volta fatto il denominatore comune, il limite proposto diventa uno di quelli già ampiamente discussi anche qui sul forum, a titolo esemplificativo ma certo non esaustivo ad esempio qui.
Segnalo altresì che nel caso del limite proposto è particolarmente veloce pervenire al risultato che hai già citato col teorema di Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} (x - sin(x))/x^3 \stackrel[H]{=} \lim_{x \to 0} (1 - cos(x))/(3x^2) = 1/3 \cdot \lim_{x \to 0} (1 - cos(x))/x^2 = 1/3 \cdot 1/2 = 1/6 $
"pilloeffe":
teorema di Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital:
Esagerato!
[ot]@giggi: Ma il tuo nickname è in onore di Gigi Marzullo quello delle trasmissioni notturne?[/ot]
"dissonance":
[quote="pilloeffe"] teorema di Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital:
Esagerato!
[/quote]Anche perché non era suo, il teorema...
"gugo82":
Anche perché non era suo, il teorema...
Giusto, però poi se lo chiamiamo teorema di Bernoulli magari veniamo fraintesi...
Un po' come la storia del numero di Nepero, che in realtà era già ben noto ad Eulero: d'altronde già il fatto che sia indicato col simbolo $e$ qualcosa deve pur dirla...
Ma John Napier è vissuto un secolo e mezzo prima di Eulero ...
[ot]Infatti Eulero è stato il primo a definire sensatamente l'esponenziale, più o meno mediante il limite $lim_n (1+x/n)^n$, ed a dimostrarne le proprietà. [/ot]
[/ot]
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