Analisi matematica di base

Sto cercando di svolgere questo esercizio: Provare che il Problema di Cauchy ${(y' = \sqrt{1 - y^2}), (y(0) = - 1):} $ ha infinite soluzioni; disegnare il grafico di alcune di esse. Non riesco a trovare infinite soluzioni, bensì solo 2 diverse. Sono partito notando che in questo caso, data la condizione iniziale richiesta, il teorema di esistenza e unicità non è applicabile (come giusto che sia) poiché cade almeno una delle sue ipotesi. La soluzione allora non è detto che esista e non è detto che sia unica. Se ...

Ciao, l'eserciziario di Marcellini-Sbordone presenta il seguente problema sul legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni: utilizzare la proprietà \[ a_n\rightarrow 0 (a_n\neq 0, \forall n\in N)\Rightarrow \frac{\sin a_n}{a_n}\rightarrow 1 \] per dedurre che \[ \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1 \] Questo problema segue immediatamente l'enunciato del teorema che lega limiti di funzioni e limiti di successioni: \[ \lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)} = l \Leftrightarrow ...

Vorrei sapere come leggere $n!^{(k)}$, dove con questa notazione si intende n con k punti esclamativi che lo seguono (il punto esclamativo indica il fattoriale).

Salve a tutti. Sto ristudiando tutto il programma di analisi 1 approfondendo la teoria, usando il testo analisi matematica 1 di pagani salsa (non bramanti). Il libro mi piace molto, ma mi sono voluto confrontare anche con delle lezioni online tenute da due docenti differenti. Il primo che ho consultato è praticamente uguale, in certe parti più semplice del libro, l'altra playlist di lezioni invece, è molto più ampia. Non so che testo segua il docente ma i contenuti sono abbstanza differenti ...

Data la definizione di palla: "In uno spazio metrico $ (X,d) $ , dato $ x0in X $ e $ r> 0 $ , definisco palla di centro x0 e raggio r l'insieme $ B (x0, r)={x in X: d(x0, x)< r} $ " E data la definizione di aperto: "Sia uno spazio metrico (X, d). Un insieme $ Asube X $ si dice aperto se $ AA x0in A $ esiste una palla $ B (x0, r)sube A $ " Ho dei dubbi circa quest'ultima. In particolare, se prendo X in R, A=X=[0, 1] (intervallo CHIUSO), con distanza d (x, y)=|x-y|, per la ...

Sei sicuro che quella funzione si scriva così sfruttando lo sviluppo della serie geometrica?

buongiorno, l'esercizio che non riesco a risolvere è questo? mi date una mano per favore? siano A, B, C, D quattro insiemi e f, g, h tre funzioni tali che A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ C $\rightarrow$ D (non sono riuscita a scrivere f, g, h risettivamente sulla prima, seconda e terza freccia) Dimostrate la seguente affermazione: se g$\circ$f:A $\rightarrow$C e h$\circ$g:B $\rightarrow$ D sono entrambe biiettive allora le tre funzioni f, g, h sono tutte ...

Buongiorno, mi sono imbattuto in un'identità con un integrale molto interessante. Prendendolo da un esercizio dell'Alsamraee mi sono proposto di dimostrarlo: \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2k+1} x\ \text{d}x=\frac{2^{2k} k!^2}{(2k+1)!}\ \ \forall k\in\mathbb{N}\] La dimostrazione che ho trovato (dopo svariati approcci inconcludenti) è più semplice di quanto immaginassi e dalla molteplicità di forme che l'identità può assumere credo si possa rivelare utile non solo nell'esercizio dove l'ho ...

Vi propongo un esercizio che ho trovato sul libro "Advanced Calculus Explored" che chiede di trovare un'espressione chiusa per la somma di una serie parametrica con una arcotangente. Il testo tradotto è: "Dimostrare che \[\sum_{n=1}^{\infty} \text{arctan}\Bigg(\frac{x^2}{n^2}\Bigg)=\frac{\pi}{4}-\text{arctan}\Bigg(\frac{\text{tanh}\Big(\frac{\pi x}{\sqrt 2}\Big)}{\text{tan}\Big(\frac{\pi x}{\sqrt2}\Big)}\Bigg)\] Si consideri che per $x=\sqrt 2$ valga \(\text{arctan}\Big(\frac{\text{tanh}\ ...

Buonasera, cercando sui libri ho trovato poco e quindi chiedo qui. Oltre a questo teorema: Data $f:[1,+infty]->RR$ con $f(x)>=0$ monotona decrescente allora $\int_(1)^(+infty) f(x)$ $<+infty$ se e solo se $\sum_{k=1}^(+infty) f_n$ $<+infty$ A livello teorico e di formule cosa si deduce tra serie ed integrali? (Rimanendo nell'ambito di analisi 1) Grazie

Sia $A\subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, $u \in C^1(A)$ integrabile. Sia anche $$t_C= \left\{\begin{matrix}C & u \geq C\\ u & |u|\leq C\\ -C & u \leq -C \end{matrix}\right.$$ con $C\geq 0$. E' vero che $\int_A \partial_it_C=\int_{|u|<C}\partial_iu$? Siccome negli aperti $\{u>C\}$ e $\{u<-C\}$ $t_C$ è costante allora lì $\partial_it_C=0$. Quindi $\int_A \partial_it_C=\int_{|u|\leq C}\partial_iu$ Ciò che mi sfugge è come mai posso trascurare i contributi di $\{u=\pm C\}$, essendo insiemi ...

Buonasera, volevo chiedervi se potreste aiutarmi con un problema. Devo trovare la soluzione della seguente EDO: $\{ (G'(x)=(a+b+F(x))(H(x)-G(x))), (G(0)=H(0)) :}$ Potreste spiegarmi lo svolgimento? Grazie mille!

Ciao, ho problemi con questo integrale. La consegna dice calcolare il seguente integrale $ int_S x(y^2+z^2)d S $ dove S è la superficie $ x=yz $ con $ x^2+y^2 <= 9 $ $ z>=y^2 $ Io ho posto la seguente parametrizzazione $ S(y,z){ ( x=yz ),( y=y ),( z=z ):} $ Calcolato la norma $ ||N|| = sqrt(1+y^2+z^2) $ perciò l'integrale finale da calcolare risulterebbe: $ int_S yz(y^2+z^2)*sqrt(1+y^2+z^2) dydz $ a parte il fatto che non sono sicuro di come trovare gli estremi di integrazione, non sono sicuro che la funzione integranda ...

Salve a tutti, stavo svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione L'esercizio chiede di studiare la seguente forma differenziale $w = |x|/(x^2+y^2)dx +y/(x^2+y^2)dy $ e di calcolarne poi l'integrale $int_(gamma_1 uu gamma_2) w$ Dove $gamma_1(t) = (cos(t)/(t^2+1), sin(t))$ su $t in [0,pi/2]$ Mentre $gamma_2(t) = (cos(t),sin(t))$ su $t in [pi/2,3/4pi]$ Procedimento: Parto con studiare se la forma differenziale è chiusa $(-2|x|y)/(x^2+y^2)^2 = (-2xy)/(x^2+y^2)^2$ se e solo se $x>=0$ Allora posso concludere che Per $x<0$ la forma differenziale non ...

Ho la seguente equazione: \(\displaystyle \beta(x)=p\cdot\beta(x+1)+q\cdot\beta(x-1) \) da risolvere per la funzione \(\displaystyle \beta:(A,B)\subset\mathbb{R}\to [0,1] \), dove A0, p e q \(\displaystyle \in (0,1) \) con \(\displaystyle p\neq q \). Alla soluzione vanno imposte le seguenti condizioni: \(\displaystyle \beta(A)=0 \) e \(\displaystyle \beta(B)=1 \). Una soluzione al problema è certamente questa: \(\displaystyle \beta(x)=\frac{(q/p)^x-(q/p)^A}{(q/p)^B-(q/p)^A} \) Come ...

Devo verificare la continuità della seguente funzione nel punto $(0,0)$ $\{((x^2+y^2+x)/(x^2+y^2) se (x,y)!=(0,0)), (1 se (x,y) = (0,0)) :}$ Innanzitutto verifico che la funzione sia definita nel punto e per definizione vale 1. Poi imposto il limite $lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2+x)/(x^2+y^2)=1$ e qui mi fermo non so come procedere per il calcolo del limite. Grazie

Mi viene chiesto di calcolare il seguente integrale doppio $\int int_Darctan(y/x)dxdy$ dove $D$ è il semicerchio di centro $(1,0)$ e raggio 1 Ho disegnato il semicerchio e dopo aver calcolato l'equazione ho definito il dominio $D={(x,y) in R^2 : 0<=x<=2, 0<=y<=sqrt(2x-x^2)}$ a questo punto l'integrale diventa $\int_0^2[int_0^(sqrt2x-x^2) arctan(y/x)dy]dx$ Secondo voi è corretto ?

Come dimostrereste che dentro un aperto \(\displaystyle \mathcal{A}\subset\mathbb{R}^m \), qualunque rettangolo chiuso e limitato Q può essere inserito all'interno di un altro rettangolo più grande Q', sempre tutto contenuto in \(\displaystyle \mathcal{A} \)? Il filo logico che ho seguito io mi sembra un pò contorto e mi viene il dubbio che esiste un modo più pulito per eseguire la dimostrazione, che io magari non vedo. In ogni caso io ho fatto così... \(\displaystyle \partial Q \) è chiuso e ...

Salve a tutti Sto svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione e vorrei sapere se il mio svolgimento porta a risultati corretti. $f(x,y)=(xy-1/2)*(x^2+y^2-1)$ Dato che stiamo cercando massimi e minimi su tutto $RR^2$ e dato che la funzione è $C^(oo)(RR^2)$ allora ha anche derivate prime continue su $RR^2\rArr$ è differenziabile su tutto il dominio. Passo quindi a cercare i punti in cui il gradiente della funzione si annulla. $nablaf(x,y)= | ( 2x(xy-1/2)+y(x^2+y^2-1) ),( 2y(xy-1/2) +x(x^2+y^2-1) ) | $ Quindi sottraggo la prima ...

come posso calcolare questi limiti con l'utilizzo dei limiti notevoli? $ lim_(x -> 2)(1-cos(x-2))/(log(x-1)) $ e $ lim_(x -> 2)(log(4x-7))/(arcsin(x-2)) $ Grazie