Disuguaglianza triangolare inversa

[Jaeger90]

Salve, non riesco a comprendere la dimostrazione della disuguaglianza triangolare inversa.
Il libro recita:
Dalla disuguaglianza traingolare si può deddure che

$ |x| = |(x-y)+y|<=|x-y|+|y|$

sottraendo y ad entrambe le parti

$ |x|-|y|<=|x-y|$

e fin qui non ci son problemi.
Poi, scambiando x ed y

$|y|-|x|<=|x-y|$

$-|x-y|<=|x|-|y|<=|x-y| $

e poi si applica l'equivalenza della proprietà del valore assoluto.

Tuttavia non riesco a capire i due ultimi passaggi scritti con le disequazioni. Come fa a scambiare x con y al primo membro lasciando invariato il secondo, e cosa fa nel passaggio successivo?
Grazie.

[gugo82]

“Scambiando i ruoli” vuol dire fai lo stesso ragionamento partendo da $|y|$ anziché da $|x|$ e poi tieni presente che $|y-x| = |x-y|$.

Poi, da $|y|-|x| <= |x-y|$ ricavi $-|x-y| <= |x| -|y|$ e tenendo presente che $|x|-|y|<=|x-y|$, concludi sfruttando le proprietà del valore assoluto.

[Jaeger90]

Ottimo, grazie.