Proprietà di Hausdorff: dimostrazione
Proprietà di Hausdorff: sia $(X,d)$ uno spazio metrico e siano $x,y \in X$. Se $x \ne y$, allora esiste $r > 0$ tale che $B(x,r) \cap B(y,r) = \emptyset$.
Dimostrazione (del testo): poniamo $r = \frac{1}{3} d(x,y)$. Sia $z \in B(x,r)$, e valutiamo $d(y,z)$. Si ha per la diseguglianza triangolare e la simmetria, $3r = d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq r + d(y,z)$, da cui $d(y,z) \geq 2r$. Quindi $z \notin B(y,r)$.
Cosa ho compreso: si vuole dimostrare la proprietà supponendo $z \in B(x,r)$ per poi mostrare che $d(y,z) > r = \frac{1}{3}$ e che quindi se $z \in B(x,r)$ allora $z \notin B(y,r)$ e viceversa.
Cosa non ho compreso: la diseguaglianza di destra nella relazione $3r = d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq r + d(y,z)$. Non ho capito quel $ r + d(y,z)$.
Dimostrazione (del testo): poniamo $r = \frac{1}{3} d(x,y)$. Sia $z \in B(x,r)$, e valutiamo $d(y,z)$. Si ha per la diseguglianza triangolare e la simmetria, $3r = d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq r + d(y,z)$, da cui $d(y,z) \geq 2r$. Quindi $z \notin B(y,r)$.
Cosa ho compreso: si vuole dimostrare la proprietà supponendo $z \in B(x,r)$ per poi mostrare che $d(y,z) > r = \frac{1}{3}$ e che quindi se $z \in B(x,r)$ allora $z \notin B(y,r)$ e viceversa.
Cosa non ho compreso: la diseguaglianza di destra nella relazione $3r = d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq r + d(y,z)$. Non ho capito quel $ r + d(y,z)$.
Risposte
$z\in B(x,r)$, quindi sicuramente la sua distanza da $x$ è più piccola o al più uguale al raggio della palla; ossia $\text{dist}(x,z) \leq r$ (consiglio: in queste dimostrazioni fare dei disegni aiuta!).
@ universo: Hai fatto un disegno?
Spiega più un disegno che mille parole.
Spiega più un disegno che mille parole.
Intuitivamente ho capito la proprietà di Hausdorff, ma se dovessi spiegare il passaggio che ho posto in evidenza non saprei che dire.
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