Esercizio su problema di Cauchy

[caffeinaplus]

Salve a tutti
Sto svolgendo questo esercizio di cui non ho soluzione e ho poca esperienza, mi piacerebbe sapere se ho svolto il tutto correttamente o meno.

Risolvere il seguente problema di Cauchy
$ { ( 4/3*y'-2xy=(e^(x^2+x))/((e^(2x)+1)(y)^(1/3))),( y(0)=((pie)/4)^(3/4) ):} $

Svolgimento:

Sicuramente mi aspetto l'esistenza di una soluzione almeno locale visto che coefficienti e termine noto sono tutti funzioni continue.

Inoltre impongo sin da subito che deve essere $y(x) != 0 AA x in I$ che è un generico intorno di $0$

Allora fatto questo, moltiplico tutta l'equazione per $(y)^(1/3)$ ottenendo

$4/3 * y' * (y)^(1/3) -2xy*(y)^(1/3)= (e^(x^2+x))/(1+e^(2x))$

Decido di effettuare la sostituzione $z(x)=(y(x))^(1/3)$

Quindi ho una equazione del tipo

$4z'*z^3 -2xz^4 = (e^(x^2+x))/(1+e^(2x))$

A questo punto so che se trovo le soluzioni della equazione omogenea associata, poi l'integrale generale è una combinazione lineare di questi e quindi posso ottenere la soluzione particolare, in questo caso essendo la equazione di grado 1 mi aspetto di trovare una sola funzione per formare l'integrale generale ( scusate se dico ovvietà magari per voi, ma in verità sono molto interessato anche a ricevere correzioni sulla teoria che penso di usare dietro, è un argomento fresco e non sono ancora certissimo di ciò che faccio )

Quindi $2z^3(2z'-xz)=0$
Posso scartare immediatamente $z(x)=0$ per le condizioni che ho imposto dall'inizio

Quindi $dz/z=1/2xdx \rArr ln(|z|)=1/4x^2+c$

Allora $|z|=lambda*e^(1/4x^2)$

Dato che in generale una equazione differenziale è della forma $y'(x)+a(x)y(x)=g(x)$

Posso considerare $lambda$ in funzione di $x$

Ora un piccolo dubbio, io ho scelto di prendere come soluzione $z=lambda(x)e^(1/4x^2)$ perchè mi sembrava migliore per le condizioni al contorno che devo imporre.
Ma in verità, esiste qualche motivo migliore per cui effettuare questa scelta?

Detto questo ritorno alla mia equazione iniziale e ottengo

$4lambda'*lambda^3=e^x/(1+e^(2x)) \rArr lambda^4= arctan(e^x)+c$ (per svolgere l'integrale ho posto $e^xdx=dt$)

A questo punto ho praticamente finito, devo solo far valere le condizioni iniziali.

Ricordandomi che $y=z^3$ ottengo

$y=e^(3/4x^2) * ( (arctan(e^x))^(1/4) +c )^3$

Considero allora $y(0)$ e ho

$((pie)/4)^(3/4) = ( (arctan(1))^(1/4) +c)^3$

Quindi impongo $c+(pi/4)^(1/4) = (pie)/4$

e da qui la soluzione.

Quindi la mia funzione è

$y(x)=e^(3/4x^2) * ( (arctan(e^x))^(1/4) +((pie)/4)^(1/4) -(pi/4)^(1/4))^3$

Grazie mille in anticipo

[pilloeffe]

Ciao caffeinaplus,

"caffeinaplus":Ricordandomi che $y=z^3 $ ottengo

$ y=e^{3/4 x^2}⋅((arctan(e^x))^{1/4}+c)^3 $

Veramente a me risulta

$y(x) = e^{3/4 x^2}[arctan(e^x) + c]^{3/4} $

Per cui imponendo la condizione iniziale scritta si ha:

$ ((\pi e)/4)^(3/4) = y(0) = [arctan(1) + c]^{3/4} \implies c = (\pi e)/4 - \pi/4 = (e - 1) \pi/4$

Pertanto la soluzione del PdC proposto mi risulta essere la seguente:

$y(x) = e^{3/4 x^2}[arctan(e^x) + (e - 1) \pi/4]^{3/4} = \frac{[e^{x^2}(4 arctan(e^x) + (e - 1)\pi)]^{3/4}}{4^{3/4}} = $
$ = \frac{[e^{x^2}(4 arctan(e^x) + (e - 1)\pi)]^{3/4}}{2 \sqrt2} $

[caffeinaplus]

Accidenti sono andato a sbagliarmi proprio sul finale!

Grazie mille pilloeffe

Per quanto riguarda i miei "commenti" teorici, ti trovi d'accordo su ciò che ho scritto o ci sono dei punti oscuri/errati?

Grazie in anticipo