Somma di una serie di funzioni
Sto tentando di dimostrare che
$S = \sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} (\frac{1}{n + z} + \frac{1}{n + 1 - z}) = \frac{\pi}{sin(\pi z)}$
ma senza successo.
Ho pensato, mediante alcuni passaggi algebrici, di semplificare il termine generico della serie per arrivare a qualcosa di noto, ma non sono giunto ad alcuna conclusione.
Distinguendo tra $n$ pari ($n -> 2n$) ed $n$ dispari ($n -> 2n - 1$):
$S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} + \frac{1}{2n + 1 - z} -(\frac{1}{2n - 1 + z} + \frac{1}{2n - z})$
Riordinando i termini si ha che:
$S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$
$= \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \sum_{n=0}^{infty}\frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$
ma a questo punto non saprei come continuare. Non so neanche se sia utile questa "scomposizione".
Idee?
Grazie.
$S = \sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} (\frac{1}{n + z} + \frac{1}{n + 1 - z}) = \frac{\pi}{sin(\pi z)}$
ma senza successo.
Ho pensato, mediante alcuni passaggi algebrici, di semplificare il termine generico della serie per arrivare a qualcosa di noto, ma non sono giunto ad alcuna conclusione.
Distinguendo tra $n$ pari ($n -> 2n$) ed $n$ dispari ($n -> 2n - 1$):
$S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} + \frac{1}{2n + 1 - z} -(\frac{1}{2n - 1 + z} + \frac{1}{2n - z})$
Riordinando i termini si ha che:
$S = \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$
$= \sum_{n=0}^{infty} \frac{1}{2n + z} - \frac{1}{2n - z} + \sum_{n=0}^{infty}\frac{1}{2n + (1 - z)} - \frac{1}{2n - (1-z)}$
ma a questo punto non saprei come continuare. Non so neanche se sia utile questa "scomposizione".
Idee?
Grazie.
Risposte
Si può provare mediante il teorema di Mittag - Leffler.
Non avendo mai né visto né utilizzato questo teorema al corso di metodi matematici, ho provato ad applicare il teorema in solitaria, ma non senza difficoltà.
L'enunciato è il seguente:
Anzitutto, determino i poli di $f(z)$:
$\sin(\pi z) = 0 \<=> \pi z = \pi n \<=> z = n$
Ossia i poli di $f$, che risultano essere semplici, sono tutti i numeri interi.
Di conseguenza, è rispettata anche la condizione per cui $0 < |z_{1}| < |z_{2}| < ...$, trattandosi banalmente di moduli di valori sull'asse reale.
A questo punto, per calcolare il residuo in ogni punto $z = n$ applico la relazione:
$Res(f,n) = \frac{A(n)}{B'(n)} = \frac{\pi}{\pi \cos(\pi n)} = (-1)^{n}$, termine che rappresenterebbe il $B_{N}$ della serie del teorema e che ritrovo anche nell'espressione della serie da dimostrare.
A questo punto, ci sono due punti che non riesco a svolgere:
1) Non ho proprio idea di come si dimostri la condizione $lim_{N -> infty} \max_{|z| = R_{N}} (\frac{|f(z)|}{R_{N}}) = 0$. Qualche idea di svolgimento?
2) Nella tesi del teorema è richiesto il valore $f(0)$; tuttavia, essendo $0$ un intero, è anche un polo per la funzione $f$, di conseguenza non posso calcolare il valore richiesto. Come si procede in questo caso?
Grazie.
L'enunciato è il seguente:
Anzitutto, determino i poli di $f(z)$:
$\sin(\pi z) = 0 \<=> \pi z = \pi n \<=> z = n$
Ossia i poli di $f$, che risultano essere semplici, sono tutti i numeri interi.
Di conseguenza, è rispettata anche la condizione per cui $0 < |z_{1}| < |z_{2}| < ...$, trattandosi banalmente di moduli di valori sull'asse reale.
A questo punto, per calcolare il residuo in ogni punto $z = n$ applico la relazione:
$Res(f,n) = \frac{A(n)}{B'(n)} = \frac{\pi}{\pi \cos(\pi n)} = (-1)^{n}$, termine che rappresenterebbe il $B_{N}$ della serie del teorema e che ritrovo anche nell'espressione della serie da dimostrare.
A questo punto, ci sono due punti che non riesco a svolgere:
1) Non ho proprio idea di come si dimostri la condizione $lim_{N -> infty} \max_{|z| = R_{N}} (\frac{|f(z)|}{R_{N}}) = 0$. Qualche idea di svolgimento?
2) Nella tesi del teorema è richiesto il valore $f(0)$; tuttavia, essendo $0$ un intero, è anche un polo per la funzione $f$, di conseguenza non posso calcolare il valore richiesto. Come si procede in questo caso?
Grazie.
Ciao CosenTheta,
In effetti gli sviluppi in serie di Mittag-Leffler spesso non vengono trattati, se n'è discusso ad esempio qui.
Comunque, in alternativa al buon suggerimento che ti ha già dato Sergeant Elias, è possibile pervenire al medesimo risultato facendo buon uso dello sviluppo in serie di Fourier della funzione $cos(zx) $ con $x \in (−\pi,pi) $
Dopo un po' di calcoli dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$ cos(zx) = \frac{2z sin(\pi z)}{\pi}[\frac{1}{2z^2}+\frac{\cos(1x)}{1^2-z^2}-\frac{\cos(2x)}{2^2-z^2}+\frac{\cos(3x)}{3^2-z^2}-\cdots] = $
$ = \frac{2z sin(\pi z)}{\pi}[\frac{1}{2z^2}-\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{cos(nx)}{n^2 - z^2}] $
Ponendo $x = 0 $ si ottiene:
$\frac{\pi}{ sin(\pi z)} = 1/z - 2z \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2 - z^2} $
"CosenTheta":
Non avendo mai né visto né utilizzato questo teorema al corso di metodi matematici
In effetti gli sviluppi in serie di Mittag-Leffler spesso non vengono trattati, se n'è discusso ad esempio qui.
Comunque, in alternativa al buon suggerimento che ti ha già dato Sergeant Elias, è possibile pervenire al medesimo risultato facendo buon uso dello sviluppo in serie di Fourier della funzione $cos(zx) $ con $x \in (−\pi,pi) $
Dopo un po' di calcoli dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$ cos(zx) = \frac{2z sin(\pi z)}{\pi}[\frac{1}{2z^2}+\frac{\cos(1x)}{1^2-z^2}-\frac{\cos(2x)}{2^2-z^2}+\frac{\cos(3x)}{3^2-z^2}-\cdots] = $
$ = \frac{2z sin(\pi z)}{\pi}[\frac{1}{2z^2}-\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{cos(nx)}{n^2 - z^2}] $
Ponendo $x = 0 $ si ottiene:
$\frac{\pi}{ sin(\pi z)} = 1/z - 2z \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2 - z^2} $
Nel frattempo completo la mia risposta. 
Basta considerare la funzione sottostante:
che gode della stessa proprietà di cui sopra.
"CosenTheta":
1) Non ho proprio idea di come si dimostri la condizione ...
$[z=R_N(cos\theta+isin\theta)] ^^ [sin\piz=(e^(i\piz)-e^(-i\piz))/(2i)] rarr$
$rarr \pi/(sin\piz)=(2\piie^(-\piR_Nsin\theta+i\piR_Ncos\theta))/(e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1) rarr$
$rarr |\pi/(sin\piz)|=(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|) rarr$
$rarr lim_(R_N->+oo)|\pi/(sin\piz)|/R_N=lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)$
Caso 1: $sin\theta gt 0$
$lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)=0$
Caso 2: $sin\theta lt 0$
$lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)=lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_Ne^(-2\piR_Nsin\theta)|1-e^(2\piR_Nsin\theta-i2\piR_Ncos\theta)|)=$
$=lim_(R_N->+oo)(2\pie^(\piR_Nsin\theta))/(R_N|1-e^(2\piR_Nsin\theta-i2\piR_Ncos\theta)|)=0$
Caso 3: $sin\theta=0$
$lim_(R_N->+oo)(2\pie^(-\piR_Nsin\theta))/(R_N|e^(-2\piR_Nsin\theta+i2\piR_Ncos\theta)-1|)=lim_(R_N->+oo)(2\pi)/(R_N|e^(+-i2\piR_N)-1|)=0$
"CosenTheta":
2) Nella tesi del teorema è richiesto il valore ...
Basta considerare la funzione sottostante:
$g(z)=\pi/(sin\piz)-1/z$
che gode della stessa proprietà di cui sopra.
Ringrazio entrambi per le esaustive risposte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo