Analisi matematica di base

Ciao a tutti, ho un problema con una serie a termini a segno alterno. La serie in questione è \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n}\] Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere. Qualche suggerimento? Grazie in anticipo.

cercando esercizi con soluzione sull'argomento mi sono imbattuto in questo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Considerare l’insieme A := {(x, y) ∈ IR^2| x + 2y = 1, x > 0, y > 0}. Disegnare A e determinare i punti interni e di frontiera di A. [Sol: A◦ = A, ∂A = {(0, 0)}.] ------------------------------------------------------------------------------------------------------- non riesco a comprendere la soluzione, infatti ...

Chiedo gentilmente un input per riuscire a risolvere questo: Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}' \) tale che \(\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y) \) e \(\displaystyle f(xy)=f(x)f(y) \), dimostrare che f è suriettiva. Andando per step sono riuscito a dimostrare che \(\displaystyle f(0)=0' \), \(\displaystyle f(1)=1' \), \(\displaystyle f(-x)=-f(x) \). Inoltre ragionando per assurdo, se esistesse un \(\displaystyle x_0' \in \mathbb{R}'\) che non è ...

Nel lancio di una moneta, la probabilità (ignota) che esca testa, è p. Si vuole saggiare il sistema di ipotesi: H0 : p = 0,5 H1 : p = 0,8 A tale scopo, si effettuano 10 lanci indipendenti della moneta e si decide di rifiutare H0 se il numero osservato di teste è maggiore di 7. Si sono osservate 8 teste, quindi il livello di significatività osservato è: - Risultato—> 0.0107 qualcuno sa aiutarmi su come arrivare al risultato? Grazie davvero

Buongiorno, sto studiando le serie numeriche e i vari criteri ed ho spesso difficoltà a capire il metodo giusto da utilizzare e capire il perchè. Ad esempio in questa serie: $\sum_{k=1}^infty log(2-cos(1/k))$ Riesco tranquillamente a vedere che è una serie a termini positivi e il limite è = 0 quindi potrebbe convergere. Però adesso devo scegliere un criterio per capire se converge ed in questo momento mi blocco e non so come proseguire. Avete dei consigli sulla scelta del criterio giusto con questo tipo di ...

Ho cercato su diversi testi e online la dimostrazione di queste 3 proprietà dell'integrale di Riemann ma non ho davvero trovare nulla. siano $f$ e $g$ dall'intervallo $I->R$ Riemann integrabili allora: $1)$ $f*g$ è integrabile ma $\int_I f(x)dx$ $*$ $\int_I g(x)dx$ $!=$ $\int_I (f*g)(x)dx$ $2)$ se $I= J_1 uu J_2$ , $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è ...

Salve, non riesco a risolvere questo limite: $ lim_(x -> 0) (1/x+1/sinx)(1/x-1/sinx) $ Il libro suggerisce di applicare due volte l'Hopital e di divedere poi numeratore e denominatore per $ x^2 $ . Ma così facendo viene $ lim_(x -> 0) (1/x+1/sinx)(1/x-1/sinx)=lim_(x -> 0) (1/x^2-1/sin^2x)= $ $ =lim_(x -> 0)(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)=lim_(x -> 0)(sin(2x)-2x)/(2xsin^2x+x^2sin(2x))=$ $ =lim_(x -> 0)(2cos(2x)-2)/(2sin^2x+4xsin(2x)+2x^2cos(2x) $ Dividendo denominatore e numeratore per $ x^2 $, come suggerito, $2cos(2x)$ tende a $+oo $, -2 a $-oo $, e già qui qualcosa non torna... Gli elementi al denominatore tendono invece a ...

$ y'(x)=y^2(x)-x; $ $ y(0)=0 $ $ x in [0, +oo [ $ La richiesta è di tracciare il grafico approssimativo della soluzione, che è unica perchè è data una condizione al contorno. Si chiede di non tentare la risoluzione analitica, sicuramente molto complicata. Lo studio qualitativo è guidato: si chiede di provare che y 1) è decrescente e 2) negativa e che è 3) definita globalmente. Inoltre si consiglia di 4) provare che, per x che va a +infinito, la soluzione va a -infinito. Non riesco a ...

Ciao, mi piacerebbe esporvi un dubbio riguardo il limite a due variabili tendente all'infinito. Il punto cruciale che mi porta a ldubbio è il fato che se ho la notazione $lim_((x,y)->oo)x*y$ questo vuol dire che trovo la famosa $||x||>k$ dove si è fissato il k(epsilon)>0 usandolacomune notazione. A parole, in pratica, deve eseistere un valore del modulo di x, dove x si intende il vettore di componenti (x,y) che risulta maggiore di k ecc ecc... Il punto dubbio è questo: in pratica a me ...

studiare nell' origine e al variare di $a>0$ la continuità, le derivate parziali e la differenziabilità della funzione: $f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$ provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio: $text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$ il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso: $f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate ...

Buongiorno a tutti, non riesco a trovare una soluzione per risolvere il limite $ lim-> \infty ln(e^(2x)+2)-2x $ Ho provato in tutti i modi, sia applicando hopital, riscrivendo il limite come $ ( ln(e^(2x)+2) ) / (1/-2x) $ e calcolando le rispettive derivate non mi trovo con il risultato che dovrebbe essere 0. Ho provato anche a porre $ e^(2x) +2 = y $ ma nulla. Sapete darmi indicazioni di come procedere, esclusa la tecnica degli infiniti ed infinitesimi. Grazie a tutti

Salve ragazzi e buonasera a tutti, non riesco a risolvere due equazioni differenziali, in particolare ho $ y'=2t(y-1)^2 $ ed $ y' = cos(t)e^(-2y+sen(t)) $. La prima avevo pensato a variabili separabili, e quindi $ (1/(y-1)^2) dy = 2t dt $ e risolvendo gli integrali ho trovato, $ 1/(y-1)=-t^2+c $. Ma questo punto non riesco ad isolare la y, per trovare una soluzione. Ringrazio tutti

Stavo studiando la convergenza del seguente integrale $$\int_0^1 \frac{\ln x \ln (1+x)}{x} \text{d}x$$ L'integrale è convergente: per curiosità l'ho inserito nel calcolatore Integral Calculator (purtroppo non è possibile inserire il link diretto del calcolo, perciò linko soltanto la pagina del sito Integral Calculator), dal quale ottengo un risultato approssimato immaginario. Ma la funzione integranda è reale! La cosa mi rende sospettoso e faccio caso al fatto che la ...

Ciao ragazzi, ho un dubbio nella risoluzione dell'esercizio: Si risolva il problema: $\{ (ddot(x) (t) - 5 dot(x)(t) + 4x(t) = e^t + e^(2t)), (x(0)=0), (dot(x)(0)=0):}$ Il problema è che non riesco a scrivere la soluzione particolare dell'equazione non omogenea con $b(t)=e^t$ Io l'ho impostata come $y(t)=c_0te^t$ dato che una delle due soluzioni dell'omogenea associata è appunto $1$ come l'esponente di $e^t$ ma non penso sia giusto. Consigli? Grazie mille

Salve, di solito non scrivo, ma sono davvero curiosa di capire perchè non riesco ad arrivare alla soluzione di questo esercizio, sicuramente banale. Devo trovare l'insieme di convergenza puntuale di questa serie: $\sum_{n =1}^{+\infty} e^{-n^3|sen(x/n)|}$ Io ho pensato per prima cosa che se ho x = 0 questa diverge, poichè avrei la serie giometrica con ragione 1. Quindi posso escludere x = 0. Ma in realtà non so se posso dirlo, perchè avrei 0*inf ? Anche se fosse giusto, per il resto, non riesco a capire come ...

Stavo svolgendo questo esercizio e vi chiedo di controllare quanto fatto e aiutarmi laddove mi sono perso (sono entrambi in spoiler). Sia il problema di Cauchy \[ u'=u^{2}-e^{-t} \qquad u(0)=a\in \mathbb{R} \] Discutere al variare di $a$ l'esistenza globale/blow up a tempo finito. Farlo in particolare per $a=0,2$ e disegnarne qualitativamente le soluzioni per tali valori. La funzione $f(t,y)=y^2-e^{-t}$ è di classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$ e quindi ho ...

Ho trovato quest'identità $$\cos(nz)=\sum_{k=0}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}(-1)^k \binom{n}{2k} \sin^{2k}z \cos^{n-2k}z$$ La fonte è http://functions.wolfram.com/Elementary ... 5/02/0003/. Ho pensato a vedere $\cos(nz)=\mathfrak{R}(e^{i nz})$, per poi lavorare un po' con qualche sviluppo in serie e binomio di Newton; tuttavia non sono sicuro che sia così semplice, se invece non è troppo articolato allora basta un piccolo input

Ciao a tutti, avrei due domande da proporvi, in quanto mi trovo un po’ in difficoltà con la definizione di misura.Premetto che io fino adesso ho incontrato solo la definizione di misura secondo Peano-Jordan. Detto questo comincio con le domande, la prima :se un insieme E non é misurabile allora qualsiasi funzione definita su quell’ insieme non é integrabile secondo Riemann?, la seconda: un insieme Che contiene un numero finito di elementi é misurabile?se si la sua misura é uguale a 0? Grazie ...

Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti: $1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ $2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$ La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito. $AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)<f(x0)$ e dunque $Supf(x)<=f(x0)$ finito. Dunque $Supf(x)$ esiste finito. Inoltre dato $k>0$ per definizione di Sup esiste $xk in (a,x0)$ tale che ...

Buonasera a tutti, mi sto confrontando con un problema che mi richiede di calcolare la lunghezza dell'arco di parabola di $y=x^2$ per $x in[0,1]$. La parametrizzazione più naturale mi è sembrata $\vec\gamma(t) = (t,t^2) ; t in [0,1]$ $\vec\gamma'(t) = (1,2t)$ $||\vec\gamma(t)|| = sqrt(1+4t^2)$ $L(\vec\gamma) = int_0^1sqrt(1+4t^2)dt$ Come potrei approcciare questo integrale? Oppure mi conviene ricercare una parametrizzazione che mi porti ad un integrale più semplice? EDIT: Deve venire $sqrt(5)/2+(ln(sqrt(5)+2))/4 = 1/4(2sqrt(5)+sinh^-1(2)) = 1.4789...$ Dal risultato immagino che ci sia da ...