Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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salve, non ho capito bene come si svolge l'esercizio qui di seguito:
per ogni numero primo positivo $p$, sia $f_p$ il polinomio $30x^4+16x^3+2x^2-x+1$ appartenente a $ZZ_p [x]$. Si trovi il numero primo $p$ per il quale $f_p$ sia monico di grado 3 ed abbia 1 come radice. Per tale valore di $p$, scrivere $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in $ZZ_p [x]$.
Allora, trovare il numero primo che ...
Questo è il testo dell'esercizio, dove $R$ sta per relazione:
$R ={n,m in ZZ*ZZ : n^2 = m^2}$ da $ZZ$ in sè. ($*$ è il prodotto cartesiano)
Bisogna rispondere a queste domande, anche se non sapete rispondere a tutte fa lo stesso aiutatemi in ciò che sapete:
1 - Si determini se $R$ è una funzione da $ZZ$ in sè.
2 - Si individui una funzione da $ZZ$ in sè contenuta in $R$.
3 - Si dica se la funzione individuata al ...
Sono proprio una schiappa in teoria dei numeri, ho iniziato ora, quindi scusate in anticipo per le domande demenziali.
Ho questo esercizio: determinare se \(\displaystyle 3k + 2 \), con un opportuno k intero, è un quadrato perfetto.
Il mio ragionamento è stato questo, se n è il quadrato perfetto, allora \(\displaystyle n = 3k + 2 \) è la divisione con resto di n/3, il resto è 2, perciò \(\displaystyle 3k + 2 \) non può essere un quadrato perfetto perché i residui quadratici di 3 sono [0] e ...
Devo dimostrare la seguente uguaglianza (senza ricorrere al principio di induzione):
$\frac{(-1)^n}{n+1} + \sum_{k=1}^n ((n),(k-1))*\frac{(-1)^k}{k}=frac{1}{n+1}$
Ero arrivato a capire che per n pari il termine in k e il termine in n-k-1 erano opposti, sviluppando il coefficiente binomiale, da cui essendo i termini un numero pari si eliminano tutti a vicenda e quindi da 0. Non sono riuscito ad estendere il ragionamento ad n dispari, quindi suppongo ci sia un metodo diverso. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano? Grazie
Salve a tutti,
cercavo una definizione rigorosa di grado di un polinomio di \( K[x] \)... Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Vorrei sottoporvi alcune domande che non mi sono chiare con relativo mio ragionamento:
1) Se G è gruppo finito con $ |G| = p^n $ , dove p è un numero primo e n > 0, allora esiste un elemento esiste g \(\displaystyle \in \) G t.c. il suo ordine è uguale a $ p^2 $ .
1) Sappiamo che l'ordine di ogni elemento di un gruppo divide l'ordine del gruppo stesso; quindi, siccome p è primo,
$ |g| = 1 $ o $ p^j $ , dove j divide n. Ma per quanto ci possa essere un ...
Riflettendo su alcuni esercizi di esame sugli insiemi mi è venuta questa intuizione.
Data una relazione $R$ da un insieme $A$ in sé, se $R$ è transitiva allora la relazione non è una funzione da $A$ in sé (escluso il caso molto semplice in cui $A$ ha un solo elemento)
L'intuizione è che se in A ho due elementi o più. Non riesco a trovare R che sia transitiva e al tempo stesso una funzione.
Ad esempio se ho ...
Salve a tutti, è la prima volta che scrivo qui. Ho 22 anni e mi sto preparando ad affrontare il test di ingresso per la facoltà di Informatica Applicata.
Ho un dubbio riguardo un esercizio sulle relazioni tra insiemi.
Praticamente ho questi dati:
A = { 2 , 4, 8, 16 } ℜ = {(x,y):y è multiplo di x}
Innanzitutto volevo sapere se è corretta la rappresentazione intensiva seguente dell'insieme A:
A = { x : x ∈ N ∧ x = 2^n con n ∈ N ∧ 1 ≤ n ≤ 4 }
Svolgendo l'esercizio abbiamo che le coppie ...
Se ho una formula di questo tipo:
\( ( \neg A \land \neg B \land C) \land ( \neg A \land B \land C ) \land (A \land \neg B \land C) \)
come faccio ad arrivare a questa formula equivalente?
\( \neg ((A \implies \neg B) \implies \neg C) \)
Grazie mille
Salve ragazzi,
domani ho l'orale e mi manca davvero molto poco per finire ... l'unico problema che ho trovato finora è stato questo:
"Siano \(\displaystyle V, W, U \) spazi vettoriali su \(\displaystyle {K} \), e fissiamo per ciascuno una base. Siano \(\displaystyle T : V \rightarrow W \), \(\displaystyle S : W \rightarrow U \) applicazioni lineari. Allora vale, rispetto alle basi fissate: \(\displaystyle \ [S°T] = [T] \) dove nel membro di sinistra stiamo considerando la composizione tra ...
Salve a tutti,
cortesemente sapreste spiegarmi in che modo risolvere la seguente congruenza lineare?
[tex]315x \equiv 18 (mod 153)[/tex]
inoltre determinare una soluzione [tex]x_{0}[/tex] tale che [tex]20 < x_{0} < 60[/tex].
quale strada bisognerebbe intraprendere per una corretta risoluzione di conguenze del genere?
se non sbaglio dovrei prima verificare se il MCD(315,153) divide 18, è così?
in questo caso si ha [tex]MCD(315,153) = 9 | 18[/tex] pertanto la congruenza ha soluzioni e ...
Salve a tutti,
il mio prof ha dato il seguente esercizio:
ESERCIZIO
Sia $P \in F[x]$ un polinomio, $F$ un campo. Provare che sono equivalenti:
(a) $P$ ammette radici multiple (in un qualche campo di spezzamento di F)
(b) $MCD(P,P') \ne 1$
Dubbio: a me pare che il teorema sia vero solo se il polinomio è monico.
Infatti se fosse vero in generale avrei per negazione che: $P$ non ammette radici multiple se e solo se $MCD(P,P') = 1$.
Ma se ...
Ragazzi mi sto esercitando per l'esame e non riesco a capire una cosa fondamentale. Mi viene richiesto di trovare una soluzione generale per questa equazione congruenziale:
$2x -= 3 (mod 5)$
La soluzione generale che trovo sul libro è:
$(4+5*k)$ $k in Z$
Invece la mia è:
$(-2 +5*k)$ $k in Z$
Soluzione ottenuta da:
$2P+5Q=1$
Dove $P= -2$ e $Q= 1$
Non riesco a capire dov'è che sbaglio. Grazie in anticipo per le risposte
Ciao a tutti,
avrei bisogno di un aiuto per un esercizio di teoria dei campi.
Devo dimostrare che il polinomio $P(x) = x^5-x+1 \in \mathbb{Q}[x]$ è irriducibile.
Quindi, detta $\alpha \in \mathbb{C}$ una radice di $P(x)$ dire se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è estensione di Galois di $\mathbb{Q}$.
Ho trovato che si tratta di un caso particolare di polinomio di Artin-Schreier.
Quindi posso trattarlo su $\mathbb{F}_5$, trovare che è irriducibile e che le altre sue radici sono del tipo $\alpha+1, \alpha+2, \alpha+3, \alpha+4$, perciò ...
Salve a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio:
ESERCIZIO
Sia $F$ un campo, $K$ un estensione di $F$, $a \in K$, $a$ trascendente su $F$.
Denotiamo con
$A$ l'insieme di tutti gli omomorfismi del tipo $\phi:F(a)\toK$ che fissano $F$ (cioè che ristretti ad $F$ sono l'identità)
$B$ l'insieme di tutti gli elementi di $K$ che sono ...
Salve, ho trovato questo esercizio a cui ho pensato ma non ho saputo risolverlo:
Determinare l'ordine di \(\displaystyle Aut(\mathbb{F}_{16}/\mathbb{F}_2) \), dove \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) è il campo finito di ordine \(\displaystyle 16=2^4\), e trovare un gruppo ad esso isomorfo.
Ho osservato che la dimensione di \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) su \(\displaystyle \mathbb{F}_2 \) è 4, e che \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) ha come sottocampo \(\displaystyle \mathbb{F}_8 \) che ...
Salve a tutti!
Preparando l'esame di crittografia, mi sono imbattuto in un esercizio, che vi propongo qui di seguito:
Determinare i punti appartenenti alla curva ellittica $E_11 (1, 6)$.
Quello che so è che si sta parlando di curve ellittiche su $Z_p$, quindi i punti che appartengono alla suddetta curva sono tutti quelli che soddisfano l'equazione:
$y^2mod11 = (x^3 + x + 6) mod 11$.
Quello che mi chiedo io è: qual'è il metodo migliore per risolvere questo esercizio?
Con migliore intendo la ...
In $S=ZZ × ZZ$, si consideri l'operazione $**$ così definita: $∀ (a,b),(c,d)∈S$, $(a,b)**(c,d)=(a+c+2,9bd)$.
Si verifichi che $(S,**)$ è un monoide commutativo.
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Dunque, un monoide commutativo è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e commutativa; ed inoltre ha un elemento neutro.
Associatività e commutatività le ho già verificate, e mi trovo. Ho soltanto un dubbio circa l'elemento neutro...vi spiego: bisogna verificare che ...
Ciao ragazzi ho un urgente bisogno del vostro aiuto.
Ho un esercizio di matematica discreta sugli ordinamenti parziali che non riesco a risolvere.
Questo è il testo:
Sia ≤ ⊆ N × N la relazione standard di ordine totale tra naturali. Si consideri la
relazione R ⊆ N × N così definita:
R = { (x,0): x ∈ N} ∪ {(y, z): y ∈ N − {0}, z ∈ N e y ≤ z}.
R è una relazione d’ordine parziale?
Non riesco a capire la relazione R. Se R è definita R ⊆ N × N, significa che la relazione non è tra coppie ...
Ciao ragazzi!
non riesco a capire cosa sbaglio in questo prodotto di permutazioni: qualcuno può aiutarmi?
$(1,4,2)(1,2,3)(1,2,4)$
so che bisogna fare i calcoli partendo da destra quindi:
$1\rightarrow2$, $2\rightarrow3$, 3 si fissa
$2\rightarrow4$, 4 si fissa, $4\rightarrow2$
3 si fissa, $3\rightarrow1$, $1\rightarrow4$
$4\rightarrow1$, $1\rightarrow2$, $2\rightarrow1$.
Quindi io concluderei che il prodotto delle permutazioni è $(1,3,4)$ mentre il risultato è ...
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