Dubbi sui gruppi
Vorrei sottoporvi alcune domande che non mi sono chiare con relativo mio ragionamento:
1) Se G è gruppo finito con $ |G| = p^n $ , dove p è un numero primo e n > 0, allora esiste un elemento esiste g \(\displaystyle \in \) G t.c. il suo ordine è uguale a $ p^2 $ .
1) Sappiamo che l'ordine di ogni elemento di un gruppo divide l'ordine del gruppo stesso; quindi, siccome p è primo,
$ |g| = 1 $ o $ p^j $ , dove j divide n. Ma per quanto ci possa essere un elemento con ordine $ p^2 $, non è detto che esista, quindi l'implicazione è falsa.
2) Quali sono gli elementi del gruppo quoziente Q/H con ordine finito, con H = { $ a/b $ | $ a/b $ \(\displaystyle \in \) Z, $ b > 0 $ , $ 6|b $ } sottogruppo di Q,+.
2) Per definizione:
Q/H = { [ $ a/b $ ] | $ a/b $ \(\displaystyle \in \) Q }
[a/b] = { ( $ a/b $ ) + ( $ h/j $ ) | $ h/j $ \(\displaystyle \in \) H }.
Qui brancolo nel buio perché faccio fatica ad astrarre questi concetti. Ogni aiuto, anche un incipit su come iniziare. è ben voluto. Intanto continuo a sbatterci la testa.
Grazie.
1) Se G è gruppo finito con $ |G| = p^n $ , dove p è un numero primo e n > 0, allora esiste un elemento esiste g \(\displaystyle \in \) G t.c. il suo ordine è uguale a $ p^2 $ .
1) Sappiamo che l'ordine di ogni elemento di un gruppo divide l'ordine del gruppo stesso; quindi, siccome p è primo,
$ |g| = 1 $ o $ p^j $ , dove j divide n. Ma per quanto ci possa essere un elemento con ordine $ p^2 $, non è detto che esista, quindi l'implicazione è falsa.
2) Quali sono gli elementi del gruppo quoziente Q/H con ordine finito, con H = { $ a/b $ | $ a/b $ \(\displaystyle \in \) Z, $ b > 0 $ , $ 6|b $ } sottogruppo di Q,+.
2) Per definizione:
Q/H = { [ $ a/b $ ] | $ a/b $ \(\displaystyle \in \) Q }
[a/b] = { ( $ a/b $ ) + ( $ h/j $ ) | $ h/j $ \(\displaystyle \in \) H }.
Qui brancolo nel buio perché faccio fatica ad astrarre questi concetti. Ogni aiuto, anche un incipit su come iniziare. è ben voluto. Intanto continuo a sbatterci la testa.
Grazie.
Risposte
Per il punto 2), a me non sembra che $(H,+)$ possa essere sottogruppo di $(QQ,+)$.
Infatti $1/6 in H$, ma $1/6+1/6=1/3 notin H$. Sbaglio qualcosa io?
Infatti $1/6 in H$, ma $1/6+1/6=1/3 notin H$. Sbaglio qualcosa io?
"Gi8":
Per il punto 2), a me non sembra che $(H,+)$ possa essere sottogruppo di $(QQ,+)$.
Infatti $1/6 in H$, ma $1/6+1/6=1/3 notin H$. Sbaglio qualcosa io?
Non è così scontato, anche se te l'hai ridotta ai minimi termini, se invece fai esclusivamente la somma viene fuori $1/6+1/6=2/6 in H$
Non mi torna. Se fosse come dici tu, allora $H=QQ$.
Infatti preso un generico numero razionale della forma $a/b$ potresti vederlo come $(6a)/(6b)$, dunque il denominatore è divisibile per $6$ e ciò significa che questo numero razionale appartiene ad $H$. Ad esempio $7/5 = 42/30 in H$
Infatti preso un generico numero razionale della forma $a/b$ potresti vederlo come $(6a)/(6b)$, dunque il denominatore è divisibile per $6$ e ciò significa che questo numero razionale appartiene ad $H$. Ad esempio $7/5 = 42/30 in H$
"Gi8":
Non mi torna. Se fosse come dici tu, allora $H=QQ$.
Infatti preso un generico numero razionale della forma $a/b$ potresti vederlo come $(6a)/(6b)$, dunque il denominatore è divisibile per $6$ e ciò significa che questo numero razionale appartiene ad $H$. Ad esempio $7/5 = 42/30 in H$
Non vorrei dire una corbelleria, ma la differenza credo stia proprio nella sintassi. Per quanto $ 7/5 $ sia "semanticamente" equivalente a $ 42/30 $ non è uguale. Infatti $ 7/5 notin H $ ma $ 42/30 in H $
Mi sta venendo il dubbio che tu non conosca la definizione di $QQ$
"Gi8":
Mi sta venendo il dubbio che tu non conosca la definizione di $QQ$
Visto che dobbiamo tornare agli albori allora 42 mele e 30 recipienti non è uguale ad avere 7 mele e 5 recipienti.
E se mi si chiede di indicare quali coppie di mele e recipienti hanno dei recipienti divisibili per 6 io indico il primo e non il secondo.
Se vogliamo tornare rigorosi e formali allora dati $ a/b e c/d t.c. $ $ 6|b $ e $ 6|d $ allora $ a/b +c/d = .../(m.c.m.(b,d) $ e $ m.c.m.(b,d) $ è per forza divisibile per 6.
"Sweps":Stai divagando. Nessuno ha detto che è uguale.
Visto che dobbiamo tornare agli albori allora 42 mele e 30 recipienti non è uguale ad avere 7 mele e 5 recipienti.
Semplicemente, il numero di mele in media in ogni recipiente è $1.4$ in entrambi i casi.
Ripeto: conosci la definizione rigorosa di $QQ$? Quella dove si parla di $ZZ times ZZ^{text{*}} // tilde$
dove $tilde$ è la relazione di equivalenza definita da $(a,b)$ $tilde$ $(c,d) <=> ad=bc$ per ogni $a,b,c,d in ZZ, b,d !=0$?
Non capisco in tutta onestà cosa c'entri con l'esercizio.
L'operazione di riduzione ai minimi termini è un'altra operazione che applichi DOPO la somma. Quindi per me rimane un sottogruppo, e la dimostrazione che ho scritto mi sembra rigorosa, perché $ 1/6+1/6=2/6 $ e non $ 1/3 $.
Per essere più rigorosi $ 1/6+1/6=2/6=1/3 $. Che poi allora si possa concludere che $ 1/6+1/6=1/3 $ secondo me non conta. E non è un formalismo.
Ed è proprio la simmetria dell'uguaglianza che fa si che due coppie equivalenti possano una appartenere e l'altra no al sottogruppo.
L'operazione di riduzione ai minimi termini è un'altra operazione che applichi DOPO la somma. Quindi per me rimane un sottogruppo, e la dimostrazione che ho scritto mi sembra rigorosa, perché $ 1/6+1/6=2/6 $ e non $ 1/3 $.
Per essere più rigorosi $ 1/6+1/6=2/6=1/3 $. Che poi allora si possa concludere che $ 1/6+1/6=1/3 $ secondo me non conta. E non è un formalismo.
Ed è proprio la simmetria dell'uguaglianza che fa si che due coppie equivalenti possano una appartenere e l'altra no al sottogruppo.
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