Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Salve,
ho un paio di domande sul fatto di trovare elementi invertibili e divisori dello 0 in un anello di polinomi.
Elementi invertibili
Dato $(\mathbb{Z}_7[X])/(f(x))$ con $f(x)=2x^4-4$ trovare un elemento invertibile e quindi l'inverso di tale elemento.
Più o meno ho capito come si trova l'inverso di un elemento dato, ma qui devo anche trovare un elemento che sia invertibile.
Un elemento $g(x)$ è invertibile se $MCD(g(x), f(x))=1$, confermate che questo valga anche nei polinomi? Se si, ...
Ragazzi mi è sorto questo dubbio di algebra studiando un'altra materia, quindi ci sta che sia un'immensa cavolata dovuta alla troppa ruggine accumulata nella teoria dei gruppi.
Stavo pensando... Dato $ZZ$, ho che per ogni $n in NN$ $nZZ$ è un suo sottogruppo. Ma allora perchè non posso costruire un isomorfismo $phi: ZZ -> nZZ$ tale che $[1] -> [n]$? Mi sembra che tutto vada bene... è compatibile con la somma, non ci sono problemi di ordine ed è iniettivo ...
Ciao a tutti, l'esercizio chiede di provare se sono vere le seguenti affermazioni:
1. Sia \(\displaystyle I \) un ideale dell'anello \(\displaystyle Z_7[x] \). \(\displaystyle I \) è primo se e solo se \(\displaystyle I \) è massimale.
2. Sia \(\displaystyle p(x) \) un polinomio di \(\displaystyle Z[x] \). \(\displaystyle p(x) \) è irriducibile se e solo se \(\displaystyle p(x) \) è primo.
Allora per quanto riguarda la proposizione 1., le mie considerazioni preliminari sono:
\(\displaystyle Z_7 ...
Ciao a tutti, il mio quesito è
"Sia \(\displaystyle x^4+1 \) polinomio di \(\displaystyle Z_5[x] \). Determinare campo di spezzamento, dimensione e base."
Inizio col dire che \(\displaystyle x^4+1 \) non ha radici in \(\displaystyle Z_5[x] \).
Per il lemma di Kronecker esiste almeno una radice \(\displaystyle \alpha \) del polinomio \(\displaystyle x^4+1 \). Per la teoria sussiste il seguente isomorfismo \(\displaystyle Z_5(\alpha) \cong Z_5/(x^4+1) \) quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è ...
Salve,
ho un paio di domande sugli anelli dei polinomi (e campi).
1) Dato l'anello quoziente $A/I$ con $A$ anello e $I$ ideale, ho capito che $A/I$ è l'insieme delle classi del tipo: $[a]=I+a$ con $a \in A$
Quindi ora prendiamo come esempio l'esercizio in cui $A=Z7$ e $I=x^2-3$ e creiamo l'insieme quoziente. Non riesco a capire il senso di questo insieme dato che $I$ non è un sottoinsieme di ...
Salve,
avrei una domanda molto veloce e qualche piccolo esercizio su cui ho dei dubbi, il tutto sulla dimensione di un sottogruppo.
Domanda
Dato il teorema di Lagrange che dice:
Sia $G$ un gruppo finito e si consideri un suo sottogruppo $H$. Allora $|H|$ è un divisore dell'ordine di $G$.
Volevo sapere se quando si parla di sottogruppi nel teorema, si intendono anche i sottogruppi ciclici.
Es 1
Sia ...
Ciao a tutti ragazzi...
ho un problema da risolvere:
Dimostrare che in un grafo non diretto e connesso G ci sono sempre almeno due nodi che hanno lo stesso grado.
Se mi faccio un disegno di un grafo connesso e non diretto, effettivamente quanto detto sopra è vero... ma non capisco minimamente come si possa dimostrare questa cosa...
Qualcuno ha almeno un input da darmi?
Grazie...
Salve ragazzi, sto risolvendo il seguente esercizio e mi sono bloccato al seguente punto:
-Descrivere gli elementi dell'ideale quoziente $(I+J)/(InnJ)$, dove $I=(507)$ e $J=(1-8i)$
Ovviamente ho scomposto $I$ e $J$ in fattori primi e ho calcolato un generatore per $I+J$ e $InnJ$ sapendo che $I+J=(MCD(507,1-8i))$ e $InnJ=(mcm(507,1-8i))$ (su quest'ultimo punto non sono sicuro...)
Sapreste indicarmi come procedere?
Ciao a tutti, spero di essere nella sezione giusta, qualcuno può spiegarmi come completare questa successione di numeri?:
222; 15; 132; 42; 312; ?
Risposte:
A) 133
B) 61
C) 314
D) 24
E) 17
Salve a tutti sono un nuovo utente in cerca di un piccolo aiuto per un esercizio proprosto in aula, il seguente esercizio afferma:
Si consideri il seguente sottoinsieme dell'anello \(\displaystyle \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \). delle matrici reali \(\displaystyle 2 x 2 : \)
\(\displaystyle S = \)\begin{cases} \begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix} , | a,b ∈ \mathbb{R} \end{cases}
Provare che \(\displaystyle S \) è un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) . Stabilire se ...
non so proprio come risolvere questo es...help pls
sul campo Q si consideri lo spazio Q^6
si dimostri che il sottoinsieme
.
V={(x1,x2,x3,x4,x5,x6) \(\displaystyle \in \) Q^6 :x1=x3=0, x2+x4=x5 }
è sottospazio di Q^6
.
credevo he il sottospazi è fatto dai vettori indipendenti tra di loro ovvero per x2+x4=x5 ne sono già 3 che nn possono formare un sottospazio e per x1=x3=0 anche loro non possono far parte del sottospazio
anche se la condizione del vettore 0 soddisfa le eq.
come dovrei fare?
poi ...
Determinare, se esistono, tutte le successioni \(\mathbf{a} :=\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}\) [2 RN, ???] tali che:
\[
\begin{cases}
a_0 = -2\\
a_1 = 1\\
a_n = 2 a_{n−1} + 4 a_{n−2} &\text{, per ogni } n\geq 2
\end{cases}
\]
Salve a tutti.
Sono alle prese con questa
Proposizione. Sia $L$ un'algebra di Lie semisemplice, $H$ una sua sottoalgebra di Cartan, e sia $L=H \oplus (\oplus_{\alpha \in \Phi} L_{\alpha})$ la corrispettiva decomposizione in spazi radice. Allora, per ogni $\alpha \in \Phi$, si ha $\text{dim} \quad L_{\alpha}=1$, e se $c\alpha \in \Phi$ allora $c=\pm 1$.
La dimostrazione è a pg 101 di questo libro: http://books.google.ca/books?hl=it&id=K ... es&f=false
Ci sono fino all'inizio della casistica $s$ pari: sono d'accordo che se ...
Salve a tutti!
Qualcuno potrebbe darmi uno spunto per il seguente esercizio?
Dato $R$ un anello unitario, si assuma $psi: R->R$ omomorfismo di anelli tale che: $psi(x)=x^2$.
Si dimostri che $R$ è un anello commutativo e che $ -x=x $ per ogni $x in R$
Ho provato a partire dal fatto che devo dimostrare $xy=yx$ , ma essendo solo un omomorfismo non posso sfruttare le proprietà di ingettività e surgettività e poi ho ragionato su ...
Salve a tutti!
Non sono sicura di una cosa: se ho $Q[x]$ quozientato un polinomio qualsiasi $p$ , qual è la dimensione di $(Q[x])/(p)$ come sottoalgebra di $Q[x]$?Il grado di $p$?
Grazie mille!
Salve,
ho trovato un esercizio sui laterali, che dice:
Dato $H \subseteq S3$, $H={id, (2, 3)}$, trovare tutti i laterali sinistri di $H$ in $S3$.
Seguendo la definizione di laterale ho pensato di cercarne uno per ogni elemento di $S3$, quindi ne avrei trovati 6.
Eccoli:
$idH = H stesso$;
$(1, 2)H = {(1, 2), (1, 2, 3)};$
$(2, 3)H = {(2, 3), id};$
$(1, 3)H = {(1, 3), (1, 3, 2)};$
$(1, 2, 3)H = {(1, 2, 3), (1, 2)};$
$(1, 3, 2)H = {(1, 3, 2), (1, 3)};$
Ma a questo punto mi sorgono 2 dubbi:
1) Il teorema di Lagrange dice che i ...
Dato un gruppo \(G\) e \(x \in G\), con \(n=1,2,3,...\) definisco \(x^{n}\) come al solito. Vorrei mostrare \(x^{n+k}=x^{n}x^{k}\) con \(n,k=1,2,3..\). Parto da \(n=1\), con \(k=1\) vale \(x^{1+1}=x^{2}=xx=x^{1}x^{1}\). Se vale per \(k\) mostro che vale per \(k+1\): \(x^{1}x^{k+1}=x^{1}x^{1}x^{k}=x^{2}x^{k}=...\) etc... Definisco \(x^{0}=1_{G}\) con \(x \in G\). Se \(G\) è un campo quindi vale anche \(0_{G}^{0}=1_{G}\).
Come faccio ad essere sicuro che la definizione \(x^{0}=1_{G}\) non dia ...
Salve, ho provato a utilizzare il tasto cerca, ma senza risultati, probabilmente perchè ciò di cui ho bisogno (gruppi generati), si scrive perlopiù in simboli.
Vado al dunque:
dato il gruppo simmetrico $S_5$, voglio determinare tutti gli elementi del sottogruppo generato dagli elementi $a=(12)$ e $b=(14)(25)$.
La soluzione che mi viene data è $G={ id , (12) , (45) , (14)(25) , (12)(45) , (15)(24) , (1425) , (1524) }$. Non capisco il perchè.
$a=(12)$ , $b=(14)(25)$ , $a^2=b^2=id$ , $ab=(1425)$ , ...
Salve ragazzi!
Ho un problema con la seguente proposizione:
Sia $\mathbb{F}_q$ un campo finito di ordine $q$. Sia $n \in \mathbb{N}$ tale che $q$ ed $n$ siano comprimi e sia $t$ l'ordine moltiplicativo di $q$ modulo $n$. Il campo di spezzamento di $x^n -1$ è $F_{q^t}$.
Con ordine moltiplicativo di $q$ modulo $n$ intendo questo: ...
Salve a tutti! Stavo svolgendo il seguente esercizio e mi è venuto un dubbio:
Descrivere il reticolo degli ideali di $(Z<em>)/((50))$.
Io ho fattorizzato $50=-i(1+i)^2*(2+i)^2*(2-i)^2$, dovendo descrivere il reticolo dovrei considerare tutti i possibili divisori, che sono davvero tanti, dove sbaglio?
Grazie mille!
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