Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti,
sto cercando di capire quale principio matematico sta alla base di quanto segue.
Prendendo due numeri interi, composti da almeno due cifre, nei quali almeno due cifre siano state invertite in qualsiasi posizione, facendo la differenza tra i due ed applicando il principio della prova del nove risulta sempre e comunque 9.
Es. 754 - 475 = 279 2+7+9 = 1+8 = 9
Es. 56112 - 26151 = 29961 2+9+9+6+1 = 2+7 = 9
Ciò che mi chiedo è perché, facendo la differenza tra due interi ...
Salve a tutti, è da un po che sono iscritto e che seguo il forum ma non intervengo molto.
Avevo una domanda su un esercizio di Matematica Discreta, gradirei averne la spiegazione senza avere la soluzione vera e propria in modo da capire meglio il tutto, insomma guidatemi verso la luce
L'esercizio è Sia (Z, +) il gruppo additivo degli interi e sia X = {22, 15}.
Determinare la parte stabile generata da X ed il sottogruppo generato da X
questa è la traccia ora una parte stabile è tale se ...
Ho già fatto la verifica dell'iniettività ma non sono sicuro del modo in cui l'ho fatta.
il problema era data f: Z -> Z con x -> 11 x^3 + 11 x^2 + 2x verificare se è iniettiva.
Sono andato avanti nel seguente modo:
f (x) = f(y) x = y
quindi se 11 x^3 + 11 x^2 + 2x = 11 y^3 + 11 y^2 + 2y allora x = y
quindi
metto in evidenza x e y ottendendo
x (11 x^2 + 11 x + 2) = y (11 y^2 + 11 y + 2) però 2 = 2 se le due funzioni sono differenti in 2x , 2y la differenza sta nella x e nella y, ...
Qualcuno sa dirmi se il procedimento che ho seguito per risolvere questo problema è corretto?
Il testo è questo:
Un vascello spaziale parte dalla Terra verso un pianeta distande $2^20$ km. Dopo avere percorso un quarto del tragitto perde il contatto radio con la Terra. Quando il contatto radio viene ristabilito il vascello si trova $2^19$ km dalla Terra. Quanti km ha percorso il vascello spaziale senza contatto radio?
Io l'ho svolto in questo modo
$2^20$ : 4 = ...
Ciao ragazzi,
vorrei chiedervi un chiarimento sulla risoluzione delle congruenze lineari.
Sostanzialmente, ho capito che si possono risolvere in due modi, cioè
svolgendo l'equazione diofantea associata oppure trovare l'inverso aritmetico.
E fin qui ci siamo, però a volte mi ritrovo delle congruenze in cui non riesco
a trovare l'inverso aritmetico e devo svolgere l'equazione diofantea.
Ad esempio, delle seguenti congruenze lineari non riesco a trovare l'inverso aritmetico
(ma che riesco a ...
Ieri mi è capitato sotto mano questo problema:
dimostrare che per $a,b,c>0$ vale $(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc$
Io ho provato così:
ipotizzando, senza perdere di generalità $a>=b>=c$ e sviluppando il prodotto si ha:
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= 6abc$
Per il primo membro, per l'ipotesi $a>=b>=c$, vale
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= c(c^2+b^2)+c(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) = 2c(a^2 + b^2 + c^2)$
Se quest'ultimo membro risulta maggiore o uguale a $6abc$ allora anche il membro iniziale lo sarà.
Si ha:
$a^2+b^2+c^2 >= 3ab$
Pensavo poi di tralasciare $c^2$, che ...
Ciao a tutti, volevo sapere se qualcuno può darmi una mano a capire come risolvere questo problema. Sono certo che per molti di voi sarà una cavolaia, ma è un'oretta che ci sono sopra ma non capisco da che parte prendere.
Il testo è il seguente:
Nella divisione intera di 999 per n, dove n è un numero naturale a due cifre, il resto vale 3. Quanto vale il resto della divisione intera di 2001 per n?
Sembra veramente facile, ma non riesco a risolverlo.
Il problema chiede di dimostrare che l'equazione:
$3x^2 -2y^2 = 1998$ non ha soluzioni intere.
Io l'ho impostato così:
effettuando la sostituzione $a = x^2, b = y^2$ ottengo
$3a -2b = 1998$
Cioè un'equazione diofantea.
Essendo $M.C.D.(2,3) = 1 rarr 3-2 = 1 rarr a = 1, b = 1$
e quindi
$3(1) - 2(1) = 1 rarr 3(1998) - 2(1998) = 1998$
ma deve essere
$1998 = x^2 = y^2$
Poichè tutte le soluzioni di un'equazione diofantea si ricavano da quelle basilari ottenute attraverso il procedimento sopra descritto e poichè 1998 non è un quadrato perfetto, allora non ...
Salve a tutti , cerco aiuto nel risolvere questo esercizio di matematica discreta :
Assegnata \varphi : Z60 --> Z12 x Z20
[x]60 -->( [x]12,[x]20 )
1. si verifichi che \varphi è ben definita , è un omomorfismo di anelli , se ne denoti il nucleo;
2. si determini la controimmagine (\varphi)^-1 ( [3]12 , [7]20);
3. si determini un elemento di Z12 x Z20 che non ha controimmagine.
Dati tre angoli x,y,z tali che x+y+z=\(\pi \)
Dimostrare che: sin²x + sin²y + sin²z\(\leq \)9/4
Ci sono modi elementari per risolverla? io ho provato così ma niente:
sin²x + sin²y + sin²z =
(1 – cos(2x))/2 + (1 – cos(2y))/2 + (1 – cos(2z))/2 =
[3 – cos(2x) – cos(2y) – cos(2(π–x–y))]/2 =
[3 – cos(2x) – cos(2y) – cos(2x+2y)]/2 =
[3 – 2cos(x+y)cos(x–y) – 2cos²(x+y) + 1]/2 =
2 – cos(x+y)cos(x–y) – cos²(x+y) =
2 – [cos(x+y) + cos(x–y)/2]² + cos²(x–y)/4 ≤
2 + 1/4
ma non ci rivavo nulla
Salve,
sto svolgendo il seguente esercizio:
Si consideri l'anello $A= (\mathbb{Z}_7 [X])/I$ con $I=(f(x))=(x^2-3)$, si provi che $A$ è un campo.
Per risolvere l'esercizio devo dimostrare che $f(x)$ è irriducibile.
Inizio cercando delle radici, ma non ci sono. Ma questo non basta per dire che $f(x)$ è irriducibile, quindi controllo se posso scrivere $f(x)$ come prodotto di due polinomi.
Osservando i gradi, le uniche combinazioni ...
Salve , il mio professore nel dimostrare che > sfrutta il fatto che se H ha indice finito allora anche i coniugati di H hanno indice finito (perché?) . Infine conclude dicendo che essendo il nocciolo intersezione dei coniugati di H , i quali sono in numero finito e hanno indice finito , allora anche lui ha indice finito (perché?) .
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi.
Ciao!
E' possibile trovare (in rete o su un libro) una dimostrazione del terorema di Abel-Ruffini?
Se non sbaglio, serve sapere un bel po' di teoria dei gruppi per capirla... dove posso trovarla?
Grazie a tutti!
Fede
In quanti modi 4 persone possono occupare 3 auto aventi 4 posti ciascuna? supposto che:
a)Sia le auto che le persone sono distinguibili e ogni auto deve contenere almeno 1 persona.
b)sia le persone che le auto sono indistinguibili e sono ammesse auto vuote.
Allora per la a)
Ho un insieme di 4 persone distinti {A,B,C,D} e li devo disporre su 3 auto con 4 posti ciascuna {E,F,G}
Se in un auto dispongo 2 persone (scelte tra le 4 ), nell altra ne posso disporre 1 scelte dalle restanti 2 e nell ...
Dimostrare p↔q significa esibire 2 dimostrazioni : p→q e q→p da cui si evince che p , q sono equiveridiche (equivalenti) ?
Sia,
proposizione p = A è sottoinsieme di B
proposizione q = ogni elemento di A è elemento di B
Definizione :
A è sottoinsieme di B sse ogni elemento di A è elemento di B, in simboli p↔q , si scrive anche così : q→p e (not q→not p) ?
Se in un esercizio (vale) p↔q e mi si chiede di verificare p basta dimostrare la proposizione q ?
2) Posso dire che la definizione di ...
Salve ragazzi, sto svolgendo il seguente esercizio:
"Si consideri il sottogruppo di Borel di $GL2(ZZ3)$:
$G=B2(ZZ3)={ ( ( a , b ),( 0 , c ) ) | a,b,c in ZZ3, ab!=0}$"
Non vado oltre perchè mi è sorto un dubbio: qual è l'elemento neutro di G, che dovrebbe essere un sottogruppo?
A meno che non mi stia sbagliando di grosso, dalla condizione $ab!=0$ segue che la matrice identica con può appartenere a G
Ragazzi potreste spiegarmi come calcolare tutti gli omomorfismi tra 2 gruppi?
Nel caso specifico tra $A4$ e $T=<a,b|a^3=b^4=1, bab^-1=a^-1>$?
Ho calcolato i periodi degli elementi di T e so che il nucleo di ogni omomorfismo deve essere sottogruppo normale di $A4$
Adesso, i sottogruppi normali di $A4$ sono ${id}$, $A4$ e $N={id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}$
Se $ker=A4$ ovviamente ho l'omomorfismo banale.
Se $ker={id}$ risulta che $A4$ è ...
Salve,
ho un paio di domande sul fatto di trovare elementi invertibili e divisori dello 0 in un anello di polinomi.
Elementi invertibili
Dato $(\mathbb{Z}_7[X])/(f(x))$ con $f(x)=2x^4-4$ trovare un elemento invertibile e quindi l'inverso di tale elemento.
Più o meno ho capito come si trova l'inverso di un elemento dato, ma qui devo anche trovare un elemento che sia invertibile.
Un elemento $g(x)$ è invertibile se $MCD(g(x), f(x))=1$, confermate che questo valga anche nei polinomi? Se si, ...
Ragazzi mi è sorto questo dubbio di algebra studiando un'altra materia, quindi ci sta che sia un'immensa cavolata dovuta alla troppa ruggine accumulata nella teoria dei gruppi.
Stavo pensando... Dato $ZZ$, ho che per ogni $n in NN$ $nZZ$ è un suo sottogruppo. Ma allora perchè non posso costruire un isomorfismo $phi: ZZ -> nZZ$ tale che $[1] -> [n]$? Mi sembra che tutto vada bene... è compatibile con la somma, non ci sono problemi di ordine ed è iniettivo ...
Ciao a tutti, l'esercizio chiede di provare se sono vere le seguenti affermazioni:
1. Sia \(\displaystyle I \) un ideale dell'anello \(\displaystyle Z_7[x] \). \(\displaystyle I \) è primo se e solo se \(\displaystyle I \) è massimale.
2. Sia \(\displaystyle p(x) \) un polinomio di \(\displaystyle Z[x] \). \(\displaystyle p(x) \) è irriducibile se e solo se \(\displaystyle p(x) \) è primo.
Allora per quanto riguarda la proposizione 1., le mie considerazioni preliminari sono:
\(\displaystyle Z_7 ...
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