Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Qualcuno sa dirmi se il procedimento che ho seguito per risolvere questo problema è corretto?
Il testo è questo:
Un vascello spaziale parte dalla Terra verso un pianeta distande $2^20$ km. Dopo avere percorso un quarto del tragitto perde il contatto radio con la Terra. Quando il contatto radio viene ristabilito il vascello si trova $2^19$ km dalla Terra. Quanti km ha percorso il vascello spaziale senza contatto radio?
Io l'ho svolto in questo modo
$2^20$ : 4 = ...
Ciao ragazzi,
vorrei chiedervi un chiarimento sulla risoluzione delle congruenze lineari.
Sostanzialmente, ho capito che si possono risolvere in due modi, cioè
svolgendo l'equazione diofantea associata oppure trovare l'inverso aritmetico.
E fin qui ci siamo, però a volte mi ritrovo delle congruenze in cui non riesco
a trovare l'inverso aritmetico e devo svolgere l'equazione diofantea.
Ad esempio, delle seguenti congruenze lineari non riesco a trovare l'inverso aritmetico
(ma che riesco a ...
Ieri mi è capitato sotto mano questo problema:
dimostrare che per $a,b,c>0$ vale $(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc$
Io ho provato così:
ipotizzando, senza perdere di generalità $a>=b>=c$ e sviluppando il prodotto si ha:
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= 6abc$
Per il primo membro, per l'ipotesi $a>=b>=c$, vale
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= c(c^2+b^2)+c(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) = 2c(a^2 + b^2 + c^2)$
Se quest'ultimo membro risulta maggiore o uguale a $6abc$ allora anche il membro iniziale lo sarà.
Si ha:
$a^2+b^2+c^2 >= 3ab$
Pensavo poi di tralasciare $c^2$, che ...
Ciao a tutti, volevo sapere se qualcuno può darmi una mano a capire come risolvere questo problema. Sono certo che per molti di voi sarà una cavolaia, ma è un'oretta che ci sono sopra ma non capisco da che parte prendere.
Il testo è il seguente:
Nella divisione intera di 999 per n, dove n è un numero naturale a due cifre, il resto vale 3. Quanto vale il resto della divisione intera di 2001 per n?
Sembra veramente facile, ma non riesco a risolverlo.
Il problema chiede di dimostrare che l'equazione:
$3x^2 -2y^2 = 1998$ non ha soluzioni intere.
Io l'ho impostato così:
effettuando la sostituzione $a = x^2, b = y^2$ ottengo
$3a -2b = 1998$
Cioè un'equazione diofantea.
Essendo $M.C.D.(2,3) = 1 rarr 3-2 = 1 rarr a = 1, b = 1$
e quindi
$3(1) - 2(1) = 1 rarr 3(1998) - 2(1998) = 1998$
ma deve essere
$1998 = x^2 = y^2$
Poichè tutte le soluzioni di un'equazione diofantea si ricavano da quelle basilari ottenute attraverso il procedimento sopra descritto e poichè 1998 non è un quadrato perfetto, allora non ...
Salve a tutti , cerco aiuto nel risolvere questo esercizio di matematica discreta :
Assegnata \varphi : Z60 --> Z12 x Z20
[x]60 -->( [x]12,[x]20 )
1. si verifichi che \varphi è ben definita , è un omomorfismo di anelli , se ne denoti il nucleo;
2. si determini la controimmagine (\varphi)^-1 ( [3]12 , [7]20);
3. si determini un elemento di Z12 x Z20 che non ha controimmagine.
Dati tre angoli x,y,z tali che x+y+z=\(\pi \)
Dimostrare che: sin²x + sin²y + sin²z\(\leq \)9/4
Ci sono modi elementari per risolverla? io ho provato così ma niente:
sin²x + sin²y + sin²z =
(1 – cos(2x))/2 + (1 – cos(2y))/2 + (1 – cos(2z))/2 =
[3 – cos(2x) – cos(2y) – cos(2(π–x–y))]/2 =
[3 – cos(2x) – cos(2y) – cos(2x+2y)]/2 =
[3 – 2cos(x+y)cos(x–y) – 2cos²(x+y) + 1]/2 =
2 – cos(x+y)cos(x–y) – cos²(x+y) =
2 – [cos(x+y) + cos(x–y)/2]² + cos²(x–y)/4 ≤
2 + 1/4
ma non ci rivavo nulla
Salve,
sto svolgendo il seguente esercizio:
Si consideri l'anello $A= (\mathbb{Z}_7 [X])/I$ con $I=(f(x))=(x^2-3)$, si provi che $A$ è un campo.
Per risolvere l'esercizio devo dimostrare che $f(x)$ è irriducibile.
Inizio cercando delle radici, ma non ci sono. Ma questo non basta per dire che $f(x)$ è irriducibile, quindi controllo se posso scrivere $f(x)$ come prodotto di due polinomi.
Osservando i gradi, le uniche combinazioni ...
Salve , il mio professore nel dimostrare che > sfrutta il fatto che se H ha indice finito allora anche i coniugati di H hanno indice finito (perché?) . Infine conclude dicendo che essendo il nocciolo intersezione dei coniugati di H , i quali sono in numero finito e hanno indice finito , allora anche lui ha indice finito (perché?) .
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi.
Ciao!
E' possibile trovare (in rete o su un libro) una dimostrazione del terorema di Abel-Ruffini?
Se non sbaglio, serve sapere un bel po' di teoria dei gruppi per capirla... dove posso trovarla?
Grazie a tutti!
Fede
In quanti modi 4 persone possono occupare 3 auto aventi 4 posti ciascuna? supposto che:
a)Sia le auto che le persone sono distinguibili e ogni auto deve contenere almeno 1 persona.
b)sia le persone che le auto sono indistinguibili e sono ammesse auto vuote.
Allora per la a)
Ho un insieme di 4 persone distinti {A,B,C,D} e li devo disporre su 3 auto con 4 posti ciascuna {E,F,G}
Se in un auto dispongo 2 persone (scelte tra le 4 ), nell altra ne posso disporre 1 scelte dalle restanti 2 e nell ...
Dimostrare p↔q significa esibire 2 dimostrazioni : p→q e q→p da cui si evince che p , q sono equiveridiche (equivalenti) ?
Sia,
proposizione p = A è sottoinsieme di B
proposizione q = ogni elemento di A è elemento di B
Definizione :
A è sottoinsieme di B sse ogni elemento di A è elemento di B, in simboli p↔q , si scrive anche così : q→p e (not q→not p) ?
Se in un esercizio (vale) p↔q e mi si chiede di verificare p basta dimostrare la proposizione q ?
2) Posso dire che la definizione di ...
Salve ragazzi, sto svolgendo il seguente esercizio:
"Si consideri il sottogruppo di Borel di $GL2(ZZ3)$:
$G=B2(ZZ3)={ ( ( a , b ),( 0 , c ) ) | a,b,c in ZZ3, ab!=0}$"
Non vado oltre perchè mi è sorto un dubbio: qual è l'elemento neutro di G, che dovrebbe essere un sottogruppo?
A meno che non mi stia sbagliando di grosso, dalla condizione $ab!=0$ segue che la matrice identica con può appartenere a G
Ragazzi potreste spiegarmi come calcolare tutti gli omomorfismi tra 2 gruppi?
Nel caso specifico tra $A4$ e $T=<a,b|a^3=b^4=1, bab^-1=a^-1>$?
Ho calcolato i periodi degli elementi di T e so che il nucleo di ogni omomorfismo deve essere sottogruppo normale di $A4$
Adesso, i sottogruppi normali di $A4$ sono ${id}$, $A4$ e $N={id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}$
Se $ker=A4$ ovviamente ho l'omomorfismo banale.
Se $ker={id}$ risulta che $A4$ è ...
Salve,
ho un paio di domande sul fatto di trovare elementi invertibili e divisori dello 0 in un anello di polinomi.
Elementi invertibili
Dato $(\mathbb{Z}_7[X])/(f(x))$ con $f(x)=2x^4-4$ trovare un elemento invertibile e quindi l'inverso di tale elemento.
Più o meno ho capito come si trova l'inverso di un elemento dato, ma qui devo anche trovare un elemento che sia invertibile.
Un elemento $g(x)$ è invertibile se $MCD(g(x), f(x))=1$, confermate che questo valga anche nei polinomi? Se si, ...
Ragazzi mi è sorto questo dubbio di algebra studiando un'altra materia, quindi ci sta che sia un'immensa cavolata dovuta alla troppa ruggine accumulata nella teoria dei gruppi.
Stavo pensando... Dato $ZZ$, ho che per ogni $n in NN$ $nZZ$ è un suo sottogruppo. Ma allora perchè non posso costruire un isomorfismo $phi: ZZ -> nZZ$ tale che $[1] -> [n]$? Mi sembra che tutto vada bene... è compatibile con la somma, non ci sono problemi di ordine ed è iniettivo ...
Ciao a tutti, l'esercizio chiede di provare se sono vere le seguenti affermazioni:
1. Sia \(\displaystyle I \) un ideale dell'anello \(\displaystyle Z_7[x] \). \(\displaystyle I \) è primo se e solo se \(\displaystyle I \) è massimale.
2. Sia \(\displaystyle p(x) \) un polinomio di \(\displaystyle Z[x] \). \(\displaystyle p(x) \) è irriducibile se e solo se \(\displaystyle p(x) \) è primo.
Allora per quanto riguarda la proposizione 1., le mie considerazioni preliminari sono:
\(\displaystyle Z_7 ...
Ciao a tutti, il mio quesito è
"Sia \(\displaystyle x^4+1 \) polinomio di \(\displaystyle Z_5[x] \). Determinare campo di spezzamento, dimensione e base."
Inizio col dire che \(\displaystyle x^4+1 \) non ha radici in \(\displaystyle Z_5[x] \).
Per il lemma di Kronecker esiste almeno una radice \(\displaystyle \alpha \) del polinomio \(\displaystyle x^4+1 \). Per la teoria sussiste il seguente isomorfismo \(\displaystyle Z_5(\alpha) \cong Z_5/(x^4+1) \) quindi \(\displaystyle Z_5(\alpha) \) è ...
Salve,
ho un paio di domande sugli anelli dei polinomi (e campi).
1) Dato l'anello quoziente $A/I$ con $A$ anello e $I$ ideale, ho capito che $A/I$ è l'insieme delle classi del tipo: $[a]=I+a$ con $a \in A$
Quindi ora prendiamo come esempio l'esercizio in cui $A=Z7$ e $I=x^2-3$ e creiamo l'insieme quoziente. Non riesco a capire il senso di questo insieme dato che $I$ non è un sottoinsieme di ...
Salve,
avrei una domanda molto veloce e qualche piccolo esercizio su cui ho dei dubbi, il tutto sulla dimensione di un sottogruppo.
Domanda
Dato il teorema di Lagrange che dice:
Sia $G$ un gruppo finito e si consideri un suo sottogruppo $H$. Allora $|H|$ è un divisore dell'ordine di $G$.
Volevo sapere se quando si parla di sottogruppi nel teorema, si intendono anche i sottogruppi ciclici.
Es 1
Sia ...
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