Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Siano \( \displaystyle x,y \in \mathbb{R} \) tali che \[
\begin{cases}
x^2 = 17 x + y \\
y^2 = x + 17 y \\
x \neq y
\end{cases}
\] Quanto vale \( \displaystyle \sqrt{x^2+y^2+1} \) ?
A proposito di semplificazioni ...
Calcolare $N=[(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)]/[(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)]$
È vietato usare calcolatrici e simili!
È sufficiente trovare qualche buona idea ...
Cordialmente, Alex
P.S.: È un quesito che viene da gare.
Sia dato il triangolo $ABC$, retto in $\hatB$ e con i tre lati di misura intera.
La bisettrice dell'angolo $\hatB$ interseca $AC$ in $F$.
La perpendicolare condotta da $A$ su $BF$, la interseca in $E$.
Detto $G$ il punto medio dell'ipotenusa, la retta $GE$ interseca $AB$ in $D$.
Se $GE=49$, quanto valgono le misure dei lati del ...
Trovato in rete...
Sia $ABCD$ un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza di diametro $AB$.
Sia $M$ il punto medio della semicirconferenza contenente il trapezio; da $M$ tracciare le parallele ai lati obliqui $BC$ e $DA$ che intersecano la circonferenza in $L$ ed $N$ (oltre che in $M$, ovviamente).
Provare che il triangolo $LMN$ è equiesteso al trapezio ...
dato un triangolo isoscele di base x e altezza h si vuole costruire un rettangolo inscritto e poggiato sulla base del triangolo, quale porzione di x deve essere presa come base per massimizzare l'area del rettangolo?
P.S.
Credo si possa usare anche un generico triangolo scaleno
Trovare tutte le soluzioni di [size=200]$x^(y/z)=y^(z/x)=z^(x/y)$[/size] dove $x, y, z$ sono numeri reali positivi.
Cordialmente, Alex
Trovare una successione $a_0, a_1, a_2, … $ i cui elementi siano positivi e tale che sia $a_0=1$ e $a_n-a_(n+1)=a_(n+2)$ per $n = 0, 1, 2, … $.
Mostrare che tale successione è unica.
Cordialmente, Alex
Sia \( \pi(x) \) la funzione enumerativa dei primi. Dimostra che non esistono due polinomi \(P,Q \) tale che
\[ \pi(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]
per \(x=1,2,3,4,\ldots \).
5
Studente Anonimo
16 feb 2021, 10:09
Sia \( S = \{ 1,5,9,13,17,\ldots \} \) l'insieme degli interi positivi della forma \(4n+1\).
Definiamo un \(S\)-primo \(p\), se \(S \ni p > 1 \) e se gli unici divisori di \(p\) che appartengono a \(S\) sono \(1\) e \(p\).
Definiamo un \(S\)-composto \(s\), se \(S \ni s > 1 \) come un non \(S\)-primo.
a) Dimostrare che ogni \(S\)-composto è prodotto di \(S\)-primi.
b) Trovare il più piccolo \(S\)-composto che può essere fattorizzato in \(S\)-primi in più di un modo.
In modo analogo ...
19
Studente Anonimo
16 feb 2021, 17:43
Dimostrare o dare un controesempio di quanto segue:
Per ogni primo \(p > 5\) consideriamo \(p' \) il suo resto modulo 30, i.e. \( p \equiv p' \mod 30 \), allora risulta che \(p'=1 \) oppure \(5 < p' < 30 \), con \(p' \) primo.
6
Studente Anonimo
16 feb 2021, 04:23
Dimostrare che, per tutti gli interi $m$ e $n$, l'espressione $mn(m^60-n^60)$ è divisibile per $56.786.730$
Cordialmente, Alex
Risolvere la seguente equazione $(cos(x))^2+(cos(2x))^2+(cos(3x))^2=1$
Cordialmente, Alex
Sia $ABC$ un numero di 3 cifre. Invertiamole, ottenendo quindi $CBA$, e sottraiamo il più piccolo dei due dal più grande, ottenendo un numero $m$. Adesso invertiamo le cifre di $m$, ottenendo un numero $m'$ e chiamiamo $n=m+m'$. Determinare tutti i valori possibili di $n$.
Sia \( n > 1 \) un numero intero, e consideriamo la sua fattorizzazione in numeri primi
\[ n = \prod_{j=1}^{k} p_j^{a_j} \]
Denotiamo inoltre con \( \tau \) il numero di divisori di \(n\) e con \( \varphi \) la funzione totiente di Eulero.
1) Dimostra che se \( \varphi(n) \mid n \) allora necessariamente abbiamo
\[ \frac{n}{\varphi(n)} = 2 \text{ oppure } \frac{n}{\varphi(n)} = 3 \]
2) Trovare tutti i numeri interi \( n > 1 \) tale che
\[ \tau(n) = 2021 \]
e
\[ \varphi(n) \mid n \]
3) Di ...
2
Studente Anonimo
22 gen 2021, 15:22
Voglio proporre una piccola curiosità. La dimostrazione - ammesso che l'ho azzeccata - è davvero banale, perciò mi farebbe piacere vedere cimentarsi in questo esercizio qualche ragazzo delle superiori (poi, certo, chiunque è benvenuto ).
Si consideri il calendario, così come lo si vede - es. - sui calendari da scrivania o su windows. Prendiamo gennaio 2021
${: ( , , , , 1, 2, 3),( 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10),(11, 12, 13, 14, 15, 16, 17),(18, 19, 20, 21, 22, 23, 24),(25, 26, 27, 28, 29, 30, 31) :}$
Si dimostri che ogni sottomatrice (quadrata) estratta grande almeno 3x3 ha determinante pari a zero.
Quanto fa questo prodotto infinito?
[size=150]$3^(1/3)*9^(1/9)*27^(1/27)*...*(3^n)^(1/(3^n))*...$[/size]
Cordialmente, Alex
Tutti i punti del piano sono colorati o di bianco o di nero. Dimostrare che esiste un triangolo equilatero che ha tutti i vertici dello stesso colore.
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