Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Un piccolo mazzo composto da $13$ carte, viene mescolato in un certo preciso modo e poi ripetutamente rimescolato esattamente con le stesse modalità.
Qual è il massimo numero di rimescolamenti necessari affinchè ogni carta torni nella posizione iniziale?
Cordialmente, Alex
Si può osservare che [size=150]$(3+3/8)^(2/3)=9/4=(3+3/8)2/3$[/size]
Quante altre istanze ci sono per le quali vale la seguente uguaglianza?
[size=150]$(a+b/c)^(m/n)=(a+b/c)(m/n)$[/size]
Cordialmente, Alex
Dimostrare che l'unica soluzione intera dell'equazione $(8^n - 2^n)/(6^n - 3^n)=2$ è $n=1$
Qual è quella giusta?
Questa $(sin(alpha))^2-(sin(beta))^2=(sin(alpha)+sin(beta))(sin(alpha)-sin(beta))$
o questa $(sin(alpha))^2-(sin(beta))^2=sin(alpha+beta)sin(alpha-beta)$ ?
Cordialmente, Alex
P.S.: $sin 105°=sin45°+sin60°=1/sqrt(2)+sqrt(3)/2=(1+sqrt(3))/(2sqrt(2))$ Perfetta!
Un cartone quadrato con il lato che misura $2$ pollici e mezzo viene gettato su un pavimento tassellato come in figura.
Assumendo che lo schema si ripeta (un quadrato vuoto, un quadrato diviso in quattro, un quadrato vuoto, un quadrato diviso in quattro e così via sia in orizzontale che in verticale) quali sono le probabilità che il cartone quadrato non tocchi le righe?
Cordialmente, Alex
Dati alcuni interi positivi non eccedenti una fissata costante intera $m$, provare che , se il minimo comune multiplo di ogni coppia dei numeri dati è maggiore di $m$, allora la somma dei reciproci dei numeri dati è minore di $3/2$.
Cordialmente, Alex
Trovare tutte le coppie di interi $(x, y)$ che siano soluzioni dell'equazione:
$(x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3$
L'ho trovata sul libro An introduction to Diophantine Equations di Titu Andrescu e Dorin Andrica (il problema è preso dalla 16th USA Mathematical Olympiad).
Non vorrei ricevere la soluzione subito ma per ora solo una dritta . Il libro suggerisce di cercare una fattorizzazione ma non riesco proprio a tirarla fuori da nessuna parte... Da dove inizio?
[size=150]Proposition: All nonsquare matrices are invertible.[/size]
Proof:
1) If $A$ is not square, then det($A$) does not exist.
2) If det($A$) dose not exist, then it certainly cannot equal zero.
3) If det($A$) is not zero, then $A$ is invertible.
Non fa una grinza,
Cordialmente, Alex
Dimostrare, tramite un semplice esempio, che un numero irrazionale elevato ad un numero irrazionale non necessariamente dà come risultato sempre un numero irrazionale.
[ot]Cosa è semplice lo decido io (così mi porto avanti col lavoro )[/ot]
Cordialmente, Alex
Supponiamo che il numero razionale non negativo [size=150]$r$[/size] sia un'approssimazione di $sqrt(2)$.
Dimostrare che $(r+2)/(r+1)$ è sempre una migliore approssimazione.
Cordialmente, Alex
Suddividiamo una circonferenza in dieci parti uguali; se uniamo ogni punto di divisione con il successivo otteniamo un decagono regolare, se invece lo colleghiamo con ogni terzo punto otteniamo un decagono stellato.
Mostrare che la differenza tra le lunghezze dei lati di questi decagoni è pari al raggio del cerchio circoscritto.
Cordialmente, Alex
È possibile ricoprire l'intero piano con una griglia di quadrati congruenti.
I nodi di questa rete sono chiamati dai matematici "lattice of integral numbers".
È possibile marcare tutti i nodi con le lettere $a, b, c, d$ in modo che ogni quadrato che compone la griglia abbia le quattro lettere ai vertici e contemporaneamente le quattro lettere compaiono in ogni riga ed in ogni colonna del lattice?
Cordialmente, Alex
Direttamente in Inglese:
Derive the operations $+, -, xx, -: $ from $-$ and reciprocal.
Ossia si tratta di costruire le 4 operazioni usando solo la sottrazione e i reciproci (beh, lo zero è sempre zero e di parentesi quante ne volete )
Cordialmente, Alex
È fatto noto che un polinomio di terzo grado a coefficienti reali che possiede discriminante negativo allora possiede una radice reale \( \alpha \) e due radici complesse, di cui una è la coniugata complessa dell'altra, denotiamole quindi rispettivamente con \( \beta \) e \( \overline{\beta} \).
Consideriamo dunque il polinomio \[ p(x) = ax^3 + b x^2 + cx + d \]
avente discriminante negativo e supponiamo inoltre che i coefficienti siano tali che soddisfino
\[ d (d-b)+a(c-a) > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ ...
Recentemente mi è stato posto un quesito interessante non tanto nella risposta in sé ma quanto al modo per ottenerla
Abbiamo un numero complesso dove conosciamo la parte immaginaria $2i$, ma non la parte reale, chiamiamola $x$, quindi
$x+2i$
Eleviamo il nostro complesso alla quarta
$(x+2i)^4$
Otteniamo un numero reale, quali possono essere i valori di $x$?
Come ho già detto la parte interessante è la strategia risolutiva.
- Sia $k$ il numero degli interi positivi che danno un resto di $24$ quando dividono $4049$. Trovare $k$
- Determinare il più grande intero che divide $364, 414, 541$ lasciando come resti, rispettivamente, $r_1, r_2, r_3$ e tali che sia $r_2=r_1+1$ e $r_3=r_2+1$
Cordialmente, Alex
La probabilità che due numeri positivi, $x$ e $y$, entrambi minori di $1$, scelti casualmente, insieme all'unità, formino una terna $(x,y,1)$, tale da produrre un triangolo ottusangolo è $(pi-2)/4$.
Dimostrazione?
Cordialmente, Alex
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