Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Il comitato per le pari opportunità sospetta discriminazioni a danno delle donne nei concorsi di ammissione al perfezionamento in lettere e scienze dell'università $XY$. Per la classe di scienze hanno presentato domanda $110$ uomini e $70$ donne e sono stati ammessi $50$ uomini ($45,45%$ del totale) e $30$ donne ($42,86%$). Per la classi di lettere hanno presentato domanda $90$ uomini e ...
Buon giorno a tutti
Spero di essere nella sezione giusta in quanto è la prima volta che scrivo in questo forum (dopo essermi presentato).
Allego un'immagine con un esercizio trovato su una esercitazione ai test universitari che mia figlia sta provavando a risolvere in attesa del suo test previsto il sette di settembre. A nostro parere non c'è una soluzione tra le risposte proposte;voi che ne pensate?
Spero non sia troppo banale per voi e di non annoiarvi troppo.
Grazie
Carlo
Provo a mettere la soluzione del sesto problema, premetto che i problemi di questo tipo non sono il mio forte, perciò se avete consigli, vedete errori, avete soluzioni alternative ecc. scrivete mi raccomando!
Problema 6
Non ricordo il testo, ma sostanzialmente chiedeva 3 cose:
1) in quanti modi diversi si può comporre un sudoku di 4 quadretti 2X2 dove si mettono i numeri (1,2,3,4). Le regole sono quelle classiche del sudoku: in ogni quadretto 2X2 ci possono essere solo numeri diversi, così ...
Posto qui il testo e nello spoiler la mia soluzione che (spero) sia giusta. Ogni correzione, consiglio o metodo risolutivo diverso è ben accetto.
Si dimostri che per $n>=1$ e $k>=2$ è sempre possibile scrivere $n^k$ come somma di esattamente n numeri dispari.
Poniamo $n^k=m+(m+2)+(m+4)+....+(m+2(n-1))$ dove $m$ è un generico numero dispari che soddisfa le condizioni del problema.
Tale somma è una serie parziale dove il primo elemento è $m$ e ...
Posto un problema della finale delle olimpiadi di matematica del 2007. Quelli primi li ho fatti, ma di questo non ho capito nemmeno la soluzione proposta! Metto il testo e la soluzione nello spoiler, se qualcuno ci capisse qualcosa e me lo spiegasse in altri termini mi farebbe un piacere.
Ecco il problema:
Sia data la successione
$x(1) = 2;$
$x(n+1) = 2x(n)^2 − 1 $ per n ≥ 1
Dimostrare che n e x(n) sono relativamente primi per ogni n ≥ 1.
Soluzione: Dimostriamo che, se p `e un numero primo ...
Salve, sono un ragazzo britannico in vacanza in Toscana e ho saputo che oggi si è tenuta la prova di Matematica per l'ammissione alla Normale di Pisa. Dato che amo la matematica, ho pensato di chiedere se fossero già disponibili i problemi; non le soluzioni, i problemi. O se qualcuno che ha fatto la prova potesse informarmi su come era strutturata. Grazie in ogni caso!
P.S. Avrei scritto nella sezione inglese se non l'avessi trovata un po' inattiva.
Siano date tre circonferenza di raggio $1$ passanti per un punto $P$ a due a due non tangenti tra loro, siano $A$,$B$,$C$ i loro ulteriori punti di intersezione. Si dimostri che per $A$, $B$ e $C$ passa una circonferenza di raggio $1$.
Sia $O$ un punto dentro un triangolo $ABC$. Siano $A_1,B_1,C_1$ i punti simmetrici di $O$ rispetto ai punti medi dei lati $BC,AC,AB$. Dimostrare che i triangoli $ABC$ e $A_1B_1C_1$ sono congruenti e che $A_1A$, $B_1B$ e $C_1C$ sono concorrenti.
Il direttore della centrale nucleare, il signor Bourbaks, si sta annoiando e allora decide di licenziare un dipendente. Prende i suoi 6642 dipendenti e li mette tutti in cerchio, numerandoli da 1 a 6642 in ordine crescente in senso orario. A questo punto si mette al centro e, andando in senso orario a partire dal numero 1, alternativamente salva un dipendente - che esce dal cerchio - oppure passa al successivo (il primo che salva è il dipendente con il numero 2). Alla fine, dopo un certo numero ...
Sia $ABC$ un triangolo. Dimostrare che le proiezioni del vertice $A$ sulle bisettrici interne ed esterne degli angoli $B$ e $C$ sono allineate.
C'è un altro problema che mi lascia perplesso, scusate è già il secondo post dopo poco tempo, prometto di darmi una calmata dopo!
Comunque il testo è:
Sia f(x) un polinomio a coefficienti interi e siano a,b interi. Mostra che f(a)-f(b) può essere uguale a 1 solo quando a e b sono consecutivi.
Avevo pensato che visto che f(x) è a coefficienti interi, abbiamo che a-b sicuramente divide f(a)-f(b), perciò è ovvio che se vogliamo che f(a)-f(b)=1, allora a-b=1, cioè a=b+1 come volevasi ...
Buongiorno, sono nuovo del forum e non so se questa sia la sezione giusta, nel caso scusatemi in anticipo.....
Il problema viene dal libro "solving mathematical problems" di Terence Tao, ed è questo:
Trova tutti i reali positivi x,y,z e tutti gli interi positivi p,q,r tali che:
$x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r$
Il fatto è che non ho proprio idea di come fare, ho solo trovato qualche soluione particolare per p=q=r per esempio, ma la soluzione generale mi sfugge, anche perchè questo esercizio è inserito in una ...
I triangoli $ABC, DEF$ sono rettangoli in $A$ e $D$ ed hanno $hatC=2hatF$ (alcuni dei sei punti possono coincidere). Dimostrare che, posto $t=(DE)/(DF)$ e $x=(AB)/(AC)$, vale la formula
$x=(2t)/(1-t^2)$
Chi ha studiato la trigonometria riconosce subito la formula di duplicazione della tangente; la sfida però è proprio dimostrarla senza la trigonometria e limitatamente a quel caso particolare. Io ne ho dato due dimostrazioni, ma entrambe poco ...
salve sono nuova del forum, volevo chiedervi una mano nel risolvere questi esercizi più che il risultato sarebbe gradita una spiegazione dei vari procedimenti grazie in anticipo vi elenco i problemi che tanto mi hanno fatto disperare.
A me interessava capire soprattutto i nuemeri 1,2,3,4,5,6,(di entrambi) e il numero 7,8,9,11,13 della semifinale A.
Grazie a tutti.
http://www.fairmath.it/public/2015/cese ... o_2015.pdf
Dimostrare che $sum_(k=0)^(n-1) cos((2kpi)/n)+sin((2kpi)/n)=0$
Siano dati dei triangoli equilateri di lato 1,3,5,7,9... messi uno accanto all'altro su una retta. Dimostrare che i vertici che non stanno sulla retta stanno su una parabola.
Sia $ABC$ un triangolo e siano $A_1, B_1, C_1$ le proiezioni di un punto interno $O$ sulle altezze ($A_1$ è la proiezione sull'altezza relativa a $BC$, e così via). Dimostrare che se $A_1A=B_1B=C_1C$, allora si ha $A_1A=B_1B=C_1C=2r$, dove $r$ è il raggio del cerchio inscritto in $ABC$.
Siano $\alpha$ e $\beta$ due angoli di un triangolo $ABC$, tali che $3\alpha+2\beta=180$. Dimostrare che $a^2+bc=c^2$.
(Nota: $\alpha$ e` l'angolo opposto $a$, $\beta$ e` angolo opposto $b$).
Dimostrare che se $a+h_a=b+h_b=c+h_c$, allora il triangolo $ABC$ è equilatero.
(Nota: $h_a$ è l'altezza relativa al lato $a$, $h_b$ è l'altezza relativa al lato $b$, $h_c$ è l'altezza relativa al lato $c$).
Sapreste risolvere questo problema? Mi ci sto scervellando ma non trovo nulla...
Questo non è il testo originale del problema, ma è quello che ho scritto io ricordando il problema.
"In un triangolo ABC si prendano un punto M su AB e un punto N su AC tali che, tracciando i segmenti MC e NB e definendo O il punto di incontro dei due segmenti, si determinano le seguenti aree :
A (MOB)=9
A (BOC)=26
A (NOC)=8
Calcolare l'area del quadrilatero AMON.
(Sono sicuro di non aver dimenticato alcun dato. ...
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