Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Buon giorno, sto cercando di risolvere il problema numero 20 assegnato quest'anno alla gara a squadre "Giochi matematici Bocconi".
Il testo è : L’ascensore del condominio di Jacopo di 11 piani (oltre il piano terra) è parecchio
capriccioso. Può salire, ogni volta, solo di 2, 3 o 5 piani e scendere di 4 oppure di 11.
Come può fare il portiere del condominio per la distribuzione della posta (entrando
nell’ascensore a piano terra) per fermarsi una e una sola volta a ciascun piano e poi ...
a)
Qual è il più piccolo numero composto solamente dalla cifra $1$ che è divisibile dal numero $33...3$ composto da $100$ volte la cifra $3$ ?
b)
Se $d_1=1, d_2, ..., d_k=n$ sono i divisori positivi del numero naturale $n$ dimostrare che $(d_1d_2...d_k)^2=n^k$
c)
Trovare tre numeri naturali differenti, coprimi a coppie, tali che la somma di due qualsiasi è divisibile per il terzo.
d)
Trovare tre numeri naturali differenti tali che il ...
Un $n$-gono convesso quanti angoli acuti può avere al massimo?
Cordialmente, Alex
Dato un insieme $a$. Dimostrare che non esiste una funzione suriettiva da $a$ a $\mathcal{P}(a)$, dove $\mathcal{P}(a)$ denota l’ insieme delle parti di $a$.
Ci sono una torta e \(n\) persone. La prima persona prende una porzione pari a \(1/n\) della torta, la seconda prende i \( 2/ n\) di quello che rimane (dopo che la prima persona ha preso la sua parte), e cosi' via. L'ultima persona prende cio' che rimane. Quale persona avra' la porzione piu' grande?
Problema 2
Data una scacchiera 5x5 si possono colorare i suoi elementi di 2 colori differenti in modo che uno stesso colore non abbia più di un lato in comune, quante sono le combinazioni possibili?
Problema 2+
Generalizzare.
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Per il problema 2+ credo di aver trovato una regola, stavo provando a dimostrarla per induzione ma non ci sono ancora riuscito, vi chiedo di risolverlo sotto un altro ...
Una scala ha \(100\) (risp. \(n\)) gradini, che possono essere saliti uno o due alla volta. In quanti modi differenti la scala puo' essere scesa (o salita)?
Un intero è detto "lucky" se è la somma di interi positivi (non necessariamente distinti) i cui reciproci sommano $1$.
Per esempio, $4$ e $11$ sono lucky: $4=2+2$ e $1/2+1/2=1$; $11=2+3+6$ e $1/2+1/3+1/6=1$.
Ma $2, 3, 5$ sono "unlucky".
Quanti "unlucky numbers" esistono?
Cordialmente, Alex
Un intero positivo è detto "digitally diverse (DD)" se le cifre della sua rappresentazione decimale sono tutte diverse; per esempio $415$ è DD mentre $414$ non lo è.
Un intero positivo è detto "unbiased" se esattamente la metà degli interi positivi minori di esso è DD.
Determinare tutti i numeri "unbiased".
Cordialmente, Alex
Dall’insieme ${3,4,12}$ si prendono due numeri e li si sostituisce con:
$(0.6a−0.8b)$ e $(0.8a+0.6b)$.
É possibile dopo alcuni passaggi ottenere:
${x,y,z}$ con $|x−4|$, $|y−6|$, $|z−12|$ tutti minori di $\frac{1}{\sqrt{3}}$?
Salve,
risolvendo un esercizio, mi sono imbattuto in questa domanda: per quali k naturali $ 2^k +9 $ è un quadrato perfetto?
Ringrazio anticipatamente per eventuali risposte.
Dati $n$ punti del piano, distinti, mostrare che uno degli angoli determinati da essi è $<=pi/n$.
Cordialmente, Alex
Un biglietto da un dollaro della lotteria dell'Ontario consiste in sei numeri differenti scelti tra $1, 2, 3, ..., 48$.
Il giorno dell'estrazione vengono scelti sei numeri a caso da questo insieme; un biglietto vincente è quello che contiene almeno 5 di questi sei numeri (l'ordine è indifferente).
Dimostrare che se uno acquista tutti i biglietti per i quali la somma dei numeri (sul biglietto) è divisibile per $47$, allora possiede almeno un biglietto vincente.
Cordialmente, Alex
Questo è un problema del Berkeley Team Round 2014, esercizio numero 13.
Scrivo questo post perché non c'è corrispondenza tra il mio risultato e quello nella chiave di risposta.
Sarei molto felice se qualcun altro provasse a risolvere questo problema per vedere se ho commesso degli errori o l'errore è nel foglio delle risposte.
"Sia ABC un triangolo con AB = 16, AC = 10,BC = 18. Sia D un punto su AB tale che 4AD = AB e sia E il piede della bisettrice dell'angolo da B su AC. Sia P l'intersezione ...
Ci sono due numeri, $a$ e $b$ con $a<b$, tali per cui l'espressione $sqrt(x+2sqrt(x-1))+sqrt(x-2sqrt(x-1))$ è costante in $a<=x<=b$
Quali sono i due numeri e quale è il valore della costante?
Cordialmente, Alex
Questo è molto simpatico.
Problema (GaS 2018 - finale nazionale Cesenatico):
Gli abitanti del sistema Otto Persei hanno l'abitudine di scrivere i numeri al contrario rispetto a quelli del sistema solare, vale a dire, leggendoli da destra a sinistra anziché da sinistra a destra. Questo è fonte di numerose incomprensioni, anche a causa della loro bellicosità, ma capita occasionalmente che sia noi che loro siamo d'accordo su un'affermazione del tipo:
"il numero $Y$ è il quadrato ...
Un numero $c$ è detto fixed point di una funzione $f$ se è una soluzione dell'equazione $f(x)=x$, cioè $f(c)=c$.
Trovare tutte le soluzioni dell'equazione $g(g(x))=x$ dove $g(x)=x^2+2x-1$ ovvero trovare tutti i fixed points della funzione $f(x)=g(g(x))$
Si assume $x$ reale.
Cordialmente, Alex
Assegnato in un compito in classe di 1° scientifico come problema facoltativo.
***
Problema:
Nell'insieme degli interi positivi $ZZ^+ = \{ 1,2,3,4,5, ...\}$ definisci l'operazione \(\triangle\) ('triangolino') ponendo:
\[
a \triangle b = a^b + b^a
\]
per ogni $a,b in ZZ^+$.
Ad esempio, \( 2\triangle 3 = 2^3 + 3^2 = 17\) e \(4 \triangle 1 = 4^1 + 1^4 =5\).
1. L'operazione \(\triangle\) è commutativa? È associativa?
Proponi un controesempio o, in caso affermativo, prova a dare una ...
Un altro piccolo quesito che ho inventato.
Marco vuole costruire un numero esadecimale molto grande. Per farlo, scrive i numeri esadecimali da \( 1 \) a \( F \) (ossia \( 1, 2, 3, \dots, C, D, E, F \)) nel seguente modo:
1. Prima scrive ogni numero una volta, ottenendo la sequenza: \( 1234\dots CDEF \).
2. Poi ripete ogni numero due volte consecutivamente, ottenendo: \( 112233\dots DDEEFF \).
3. Continua in questo modo, ripetendo tre volte ogni numero, poi quattro volte, e così via, fino a ...
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