Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Esercizio:
In ogni triangolo non degenere, il reciproco (della misura della lunghezza) di un'altezza è minore della somma dei reciproci (delle misure delle lunghezze) delle altre due.
Supponiamo di avere delle piastrelle rettangolari dalle dimensioni di $2 xx 1$ in una qualche unità di misura e di dover pavimentare un piano rettangolare dalle dimensioni $p xx q$.
A seconda di come le disponiamo, potrebbe sussistere una "linea di frattura" ovvero una linea che va da un lato all'altro del rettangolo senza essere interrotta (in figura un esempio di linea di frattura in rosso).
Quali sono le minime dimensioni $p,q$ per cui sia ...
Provare che, per ogni $n>=3$, il numero $n!$ può essere rappresentato come somma di $n$ divisori distinti di $n!$
Cordialmente, Alex
Dato il triangolo acutangolo $ABC$ con area pari a $40$ unità, tracciare la mediana $AD$ e fissare su di essa il punto $E$, in modo tale che sia $AE=1/3AD$.
Successivamente fissare il punto $F$ sul segmento $BE$ in modo tale che sia $BF=1/4BE$ ed infine fissare il punto $G$ sul segmento $CF$ in modo tale che sia $CG=1/5CF$.
Determinare l'area del triangolo ...
Ciao a tutti,
Vi voglio proporre un problema interessante:
______________________
In un campeggio ci sono $5$ posti speciali che vengono assegnati, ogni mese, ad un determinato campeggiatore.
I posti non hanno un nome, ma sono semplicemente numerati:
Posto $1$, posto $2$, posto $3$, posto $4$ e posto $5$.
I campeggiatori che hanno pagato per usufruire dei posti speciali sono anch'essi ...
Sia \( p_n \) l'\(n\)-esimo numero primo. Diciamo che \(p_n = a_k \cdot 10^{k}+ a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 +a_0 \cdot 10^0 \) è la sua rappresentazione in base \(10\).
i) Trovare due numeri primi \(p_n\) tale che \( \prod_{j=0}^{k} a_j = n \)
ii) Dimostra che se vale \[ \prod_{j=0}^{k} a_j = n \]
allora necessariamente \(p_n < 10^{45} \)
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Studente Anonimo
30 apr 2021, 00:17
Dimostrare che non esistono funzioni $f: ZZ -> ZZ$ tali che per ogni $m,n in ZZ$ si abbia
\[
f \left(m + f(n) \right) = f(m) - n
\]
mi stavo esercitando con delle equazioni esponenziali il cui procedimento utilizzasse la funzione W di lambert. Dato che non trovavo nuove equazioni (se ne avete vi prego di consigliarmene), ne ho scritta una a caso che è $ x-ln(x) = 3 $ che dal grafico mostra avere 2 soluzioni reali. non riesco però a risolverla, ho provato ad elevare alla e, ottenendo $ x = e^(x-3) $ ma non riesco ad andare oltre. Qualcuno sa come fare? grazie in anticipo
Trovare tutte le soluzioni intere dell'equazione di Mordell \(\displaystyle x^3-y^2=0\).
In generale, le equazioni di Mordell sono del tipo \(\displaystyle x^3-y^2+k=0\) con \(\displaystyle k\in\mathbb{Z}\); lessi da qualche parte che l'ultimo caso noto è stato risolto l'anno scorso (2020 dC), ma non trovo più la fonte dell'informazione... ma può essere che mi sia confuso con un problema simile.P.S.: basta la sola aritmetica della scuola primaria\secondaria di primo grado.
Forse non ci avete mai fatto caso ma accade che $sqrt(2 2/3)=2sqrt(2/3)$ dove la scrittura $2 2/3$ significa $2+2/3$ come si usava una volta nei tempi andati (neanche poi tanto )
Quante altre equazioni come questa ci sono?
Cordialmente, Alex
Si consideri la curva di equazione $x^3y-xy^2-xy+9=0$, scrivere l'equazione della tangente alla curva nel punto (1,3). Stranamente molti studenti non riescono a risolvere questo esercizio o fanno molti calcoli inutili..
Consideriamo l'intervallo $(0, 17)$, è chiaro che c'è un'infinità di modi per suddividerlo in $n$ parti $p_1, p_2, ..., p_n$ non vuote.
Ora, la somma $S_n(P) = sum_(k=1)^n sqrt((2k-1)^2+a_k^2)$ è una funzione della partizione $P=a_1, a_2, ..., a_n$ e assume infiniti valori diversi al variare di $P$ sulle tutte le partizioni possibili.
Sia $S_n$ il minimo valore di questa funzione $S_n= min S_n(P) = min sum_(k=1)^n sqrt((2k-1)^2+a_k^2)$
Abbastanza sorprendentemente, accade che esattamente solo uno dei valori ...
è possibile scrivere ogni numero naturale positivo come somma di elementi della successione armonica in modo che nessun termine si ripeta?
p.s.
Ad esempio si ha per il valore \(\displaystyle 3 \): \(\displaystyle 3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{20} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \frac{1}{56} + \frac{1}{156} + \frac{1}{1806} \)
Siano $a, b, c, d$ numeri reali positivi tali che $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$.
Dimostrare che $ a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a>=4$
Trovare tutte le funzioni \(\displaystyle f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) tali che per ogni \(\displaystyle m,n \in \mathbb{Z} \)
\[
f \left( m^2 \right) + f \left( m \cdot f(n) \right) = f(m+n) \cdot f(m)
\]
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