Equiestensione di poligoni

[gugo82]

Trovato in rete...

Sia $ABCD$ un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza di diametro $AB$.
Sia $M$ il punto medio della semicirconferenza contenente il trapezio; da $M$ tracciare le parallele ai lati obliqui $BC$ e $DA$ che intersecano la circonferenza in $L$ ed $N$ (oltre che in $M$, ovviamente).
Provare che il triangolo $LMN$ è equiesteso al trapezio $ABCD$.

Credo che si chiedesse una risoluzione sintetica, ma anche una che usi la goniometria e/o tecniche di Analisi mi sembrano interessanti.

[axpgn]

Detto $O$ il centro della circonferenza, $K$ il punto medio di $CD$, $H$ il punto medio di $LN$, si ha $AO=MO$, $DK=OH$ e $OK=LH$ per via delle similitudini e congruenze di vari triangoli (p.es $BD=MN$ e $L\hatNM=B\hatAD$); ne consegue che $AO+DK=MO+OH$, ovvero l'altezza del triangolo è pari a metà della somma delle basi del trapezio mentre l'altezza del trapezio è metà della base del triangolo.

Cordialmente, Alex