Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Sia dato un triangolo $ABC$ e un suo punto interno $P$.
Le rette $AP, BP, CP$ intersecano i lati opposti nei punti $A', B', C'$.
Dimostrare che tra i rapporti $(AP)/(PA'), (BP)/(PB'), (CP)/(PC')$ almeno uno è minore o uguale a $2$ e almeno uno è maggiore o uguale a $2$.
Cordialmente, Alex
Dimostrare, senza usare la trigonometria, che se un triangolo ha un angolo $alpha$ pari a $60°$, allora la sua area è $A=sqrt(3)/4[a^2-(b-c)^2]$ mentre se ha un angolo $alpha$ pari a $120°$, allora la sua area è $A=sqrt(3)/12[a^2-(b-c)^2]$, dove $a, b, c$ sono i lati e $a$ è il lato opposto all'angolo $alpha$.
Cordialmente, Alex
Fissato il perimetro $n$, quanti differenti triangoli esistono che non siano congruenti fra loro, non siano degeneri e abbiano tutti e tre i lati di misura intera?
Cordialmente, Alex
Siano $alpha, beta, gamma$ gli angoli interni di un triangolo.
Mostrare che:
a) $sin(alpha)+sin(beta)+sin(gamma)=4cos(alpha/2)cos(beta/2)cos(gamma/2)$
b) $sin(2alpha)+sin(2beta)+sin(2gamma)=4sin(alpha)sin(beta)sin(gamma)$
c) $sin(4alpha)+sin(4beta)+sin(4gamma)=-4sin(2alpha)sin(2beta)sin(2gamma)$
Cordialmente, Alex
Aggiungendo $1$ al numero $N=\text(aaabbbccc)$, si ottiene un quadrato perfetto.
Trovare $N$.
($\text(a, b, c)$ sono cifre diverse).
(No brute force, please )
Cordialmente, Alex
La Scuola Sant’Anna ha deciso di partecipare al
campionato di Formula Uno con una vettura, e si sta
preparando per il prossimo gran premio che si svolgerà sul
circuito di Montecarlo (comune della provincia di Lucca). I
suoi ingegneri hanno a disposizione i seguenti dati:
- la gara consiste in 120 giri di pista;
- la capacità del serbatoio della vettura permette, se necessario, di completare la gara senza alcun pit-stop.
- Per un pit-stop si impiegano 30 secondi in totale, compresi i tempi ...
Per prima cosa non sono bravo con i titoli e si vede.
Per seconda cosa ho trovato questo problema su skuola.net, ovvero i nuovi proprietari del forum (!), e lo posto qui perché non mi sembra semplice - e perché troppo ci ho pensato senza venirne a capo. Se volete, potete controllare che ormai di là è chiuso senza risposta (link), quindi non lo posto qui per risolverlo e fare lo sborone di là.
Sia dato un triangolo generico ABC.
Si disegni un segmento che esca dal vertice B e ...
Dimostrare che Goldbach è vero nei seguenti due casi:
Polinomi:
i) Sia \(f(x) \in \mathbb{Z}[x] \), ovvero un polinomio \( f(x)= a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0 \) con \( a_i \in \mathbb{Z} \) per ogni \(0 \leq i \leq n \), con \( \deg f = n \geq 1 \), dimostra che esistono due polinomi \( p(x), q(x) \in \mathbb{Z}[x] \) irriducibili e con \( \deg p = \deg q = n \) tale che
\[ f(x) = p(x) + q(x) \]
Suggerimento: potete utilizzare il fatto che per ogni \( m \in \mathbb{Z} \) esistono infinite ...
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Studente Anonimo
30 lug 2020, 13:49
Salve a tutti , stavo svolgendo il seguente esercizio :
16 coni stradali sono messi in linea retta a distanza di 10 metri uno dall’altro. Si vuole dipingere
sulla strada una linea continua che vada dal primo all’ultimo cono. Sapendo che per dipingere 100
metri di linea continua sono necessari 6 litri di vernice, quanti litri di vernice sono necessari per
completare questo lavoro?
(A) 8,4 (B) 9 (C) 9,6 (D) 10 (E) nessuna delle precedenti.
Sono riuscito a svolgerlo tuttavia io avrei risposto ...
Salve vorrei chiedervi gentilmente una mano per risolvere questi esercizi
Domanda 6.
Per α > 0 si consideri la successione definita per induzione attraverso le formule
$ a0 = α , an+1 = 1 +(an)/2 $
.
Si dica quale delle seguenti affermazioni `e vera:
(a) Per ogni α > 0 risulta limn→+∞ an = 2
(b) Per ogni α > 0 risulta limn→+∞ an =1/2
(c) Per ogni α > 0 risulta limn→+∞ an = +∞
(d) Esistono degli α > 0 per cui limn→+∞ an = +∞
Allora qui ho provato a trovare un espressione che mi desse il valore di an ...
Salve, vi vorrei gentilmente chiedere aiuto per questo problema di ammissione per la scuola galileiana (domanda 14, test di attitudine scientifica anno 2018)
Quante sono le terne (a, b, c) tali che a, b, c ∈ {1, ..., 50}, a < b < c e
b − a = c − b?
(a) 576
(b) 500
(c) 480
(d) 600
risposta giusta d
Bene io ho proceduto nel seguente modo.
Manipolo algebricamente e trovo la relazione $2b=a+c$. Ora considero diversi valori di b e di n terne:
b=1 non ha terne che soddisfano a
Esiste un intero positivo la cui scomposizione in fattori primi include, al massimo, i numeri $2, 3 , 5, 7$ e che termina con le cifre $11$?
Cordialmente, Alex
Diciamo che un numero intero è "l'inversione" di un altro numero intero se è composto dalle stesse cifre ma scritte in ordine inverso (p.es. $4321$ è l'inversione di $1234$)
1) Dimostrare che non esiste un numero naturale la cui inversione è due, tre, cinque, sette o otto volte il numero stesso.
2) Trovare tutti gli interi le cui inversioni sono quattro o nove volte il numero originale.
Cordialmente, Alex
Buongiorno a tutti , volevo chiedervi un aiutino per un esercizio in cui mi ritrovo fermo. Il testo è il seguente:
Quanti sono i numeri interi n tali che: $ n/7 * (n/7+1) * (n/7 + 2) * (n/7 + 3) * ... * (n/7 + 7)<0 $
(a) 24;
(b) 28;
(c) 42;
(d) infiniti valori di n;
Risposta giusta A
Io ho provato a scegliere un esempio dello stesso tipo e per esempio ho considerato
$ n * (n+1) * (n+2) = n^3+3n^2+2n $
Da ciò ho ipotizzato che lo schema dovesse essere lo stesso e perciò ho riscritto la prima come
$ (n/7)^8 + 8 (n/7)^7+ 7(n/7)^6 + 6 (n/7)^5 + 5(n/7)^4 + 4(n/7)^3 + 3(n/7)^2 + 2(n/7)< 0 $
tuttavia non so se ...
Forse il problema che propongo è facile, ma non vedo come impostarlo e chiedo aiuto. L'ho inventato io.
Calcolare quante permutazioni dei numeri da 1 ad $n$ non hanno nessun numero al suo posto, cioè non hanno né l'1 al primo posto né il 2 al secondo, eccetera.
Sia
\[ \mathcal{F} := \{ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} : f(m+n) \geq f(m) + f(f(n)) -1 , \forall n,m \in \mathbb{N} \}\]
e per \( k \in \mathbb{N} \) sia inoltre \( V(k) := \{ n \in \mathbb{N} : \exists f \in \mathcal{F},\ \text{tale che}\ f(k)=n \} \)
Dimostra che \( \forall k \in \mathbb{N} \) abbiamo che
\[ \sum_{n \in V(k)} n = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \]
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Studente Anonimo
6 lug 2020, 12:25
Salve, avrei un quesito molto importante da porvi.
Si da il caso che io stia sollevando, con l’aiuto di una gru, un pannello a taglio termico in calcestruzzo di 6m x 2m il quale, avendo dei ganci di sollevamento decentrati a causa della presenza di polistirolo al suo interno, una volta sollevato da terra risulta naturalmente inclinato. A questo punto, per far si che il pannello possa essere posizionato senza creare problemi alla squadra di montatori vorrei posizionare un contrappeso ...
Disponiamo $n$ punti sul piano e colleghiamo ognuno di essi al più vicino con un segmento.
Assumiamo che le distanze siano tutte differenti cosicché non ci siano dubbi su quale sia il punto più vicino a ciascuno di essi.
Dimostrare che la figura risultante non contiene poligoni chiusi né segmenti che si intersechino.
Cordialmente, Alex
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