Equazione trigonometrica

[axpgn]

Risolvere la seguente equazione $(cos(x))^2+(cos(2x))^2+(cos(3x))^2=1$



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

C'è un metodo molto banale, ma mi chiederò se si può fare di meglio.

Con le formule di duplicazione e di triplicazione l'equazione diventa

$cos^2 x+(2cos^2x-1)^2+(4cos^3x-3cosx)^2=1$

cioè, a calcoli fatti,

$16cos^6 x-20cos^4 x+6cos^2 x=0$

che si risolve facilmente mettendo in evidenza e con la biquadratica.

[axpgn]

Per te è banale ma per altri ...

Battute a parte, è un problema che viene dalle Olimpiadi della Matematica, seppur di decenni fa.
L'autore che lo commenta nel libro dove l'ho letto, propone due soluzioni alternative a "quella di routine" che non riporta ma, sostanzialmente, fa capire che si tratta di usare le formule che hai usato tu o analoghe.

Le due alternative non sono più semplici di questa però interessanti.
Una si basa ancora su identità trigonometriche mentre l'altra (che mi è poco chiara) usa i numeri complessi.

Mi piacerebbe però vedere i risultati "in chiaro" per vedere se corrispondono perché ho provato a dare in pasto a Wolfram entrambe le equazioni e mi dà soluzioni diverse fra loro ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Credo di aver capito perché le soluzioni sembrano non corrispondere.

Col metodo che ho indicato le soluzioni sono indicate in modo diverso ma, vedendole sul cerchio goniometrico, si nota che possono essere scritte nella forma $pi/4+kpi/2; " "pi/6+k pi/3$.
Con un altro metodo (che penso sia quello che dici basato sulle identità trigonometriche) si arriva all'equazione
$cosxcos2xcos3x=0$
che sembra avere anche la soluzione $pi/2+kpi$. Questa soluzione è però già compresa nell'ultima che ho scritto e quindi può non essere indicata.
Mi incuriosisce la soluzione basata sui numeri complessi ma lascia perdere: se è poco chiara a te, quasi certamente lo sarà anche meno per me.

[axpgn]

@giammaria

"giammaria":Con un altro metodo (che penso sia quello che dici basato sulle identità trigonometriche) si arriva all'equazione $cosxcos2xcos3x=0$

Esatto. Carina, dai.
Ho fatto i conti e le soluzioni son le stesse.

"giammaria":Mi incuriosisce la soluzione basata sui numeri complessi ma lascia perdere: se è poco chiara a te, quasi certamente lo sarà anche meno per me.

Non credo proprio
Appena ho un po' di tempo, lo posto.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

La soluzione usando i complessi è questa:

L'autore, prima fa una premessa in cui dimostra come, dato un numero complesso $z=cos(theta)+isin(theta)$, si giunga a $cos(ntheta)=(z^n+z^(-n))/2$ e $isin(ntheta)=(z^n-z^(-n))/2$, poi passa alla soluzione vera e propria.

Usando quelle identità passa da $(cos(theta))^2+(cos(2theta))^2+(cos(3theta))^2=1$ a $(z+z^(-1))^2+(z^2+z^(-2))^2+(z^3+z^(-3))^2=4$

Sviluppa i quadrati e li mette in progressione geometrica così $z^(-6)+z^(-4)+z^(-2)+1+z^2+z^4+z^6= -1$ da cui $(z^(-6)-z^8)/(1-z^2) = -1$ ovvero $z^7-z^(-7)=-(z-z^(-1))$ ed infine risostituendo $sin(7theta)=-sin(theta)=sin(-theta)$

Cordialmente, Alex