Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Dividere un triangolo in $19$ triangoli in modo tale che ad ogni vertice (compresi quelli iniziali) si incontrino lo stesso numero di lati.
Inoltre, in questo problema, il numero $19$ non può essere sostituito con uno più grande ma può essere rimpiazzato da alcuni più piccoli.
Quali?
Cordialmente, Alex
[size=85]Ripropongo un quesito che è andato perso e che mi sembrava interessante; era stato risolto ma senza dimostrare l'unicità delle soluzioni trovate, avevo poi pubblicato anche questa parte della soluzione (lunga) ed infine un extra, che invece era ancora aperto.[/size]
Determinare per quali coppie di interi positivi $a$ e $b$, il loro prodotto $ab$ divide l'espressione $a^2+b^2+1$
Cordialmente, Alex
Babbo Natale ha davanti un triangolo $ABC$ con lati $AB=52$, $BC=60$ e $CA=56$, sia $P$ un punto sul lato $BC$ tale che il cerchio inscritto nel triangolo $ABP$ ha lo stesso raggio di quello inscritto nel triangolo $ACP$. Aiutiamo Babbo Natale a trovare il quadrato della lunghezza di $AP$.
$2016$
Recentemente ho scoperto una proprietà che non conoscevo:
Il prodotto tra due numeri é uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m..
Non ho mai provato a dimostrarlo, e magari potrebbe essere una banalità, oppure no. Affido a voi ogni osservazione e-o commento su una possibile dimostrazione.
Dire quante sono le permutazioni dei primi $100$ numeri interi positivi che hanno la seguente proprietà: cancellando uno dei numeri, opportunamente scelto, si ottiene una lista di numeri in ordine crescente.
Il "Bubble Sort" è un algoritmo che serve per riordinare una sequenza di numeri.
Partendo dall'inizio della lista, il "Bubble Sort" confronta tra loro due numeri consecutivi della sequenza e se non sono in ordine, li scambia di posto, altrimenti li lascia dov'erano.
Inizia confrontando il primo con il secondo, poi il secondo con il terzo, il terzo col quarto e così via fino alla fine della sequenza.
Se arrivato in fondo la lista non è ancora totalmente ordinata, ricomincia il giro, e lo rifà ...
Supponiamo che il primo quadrante del piano cartesiano sia un enorme foglio di carta.
Fissiamo una costante $K$ e immaginiamo di piegare l'angolo in $(0,0)$ su un punto $P$ del foglio, in modo tale che il triangolo così generato abbia area $K$.
Determinare il luogo dei punti di $P$.
Cordialmente, Alex
In isosceles trapezoid ABCD, shown here, sides AB and DC are parallel, AB = 10 and CD = 8. Trapezoids APQR and BCQP are both similar to trapezoid ABCD. What is the area of trapezoid ABCD? Express your answer in simplest radical form.
L'ho trovato su un sito americano
la mia soluzione è $9sqrt19$, ma nn ho ricevuto nè conferme nè smentite
qualcuno può togliermi il dubbio, plz?
Nel caso espongo il mio ragionamento
Una successione è definita ponendo$ x_0 = 0$ e poi per ricorrenza $x_{n+1} = 2x_n + n$.
Determinare la cifra delle unità di $x_{2015}$.
Determinare (ovviamente senza calcolatrice ) un numero intero $n<10000$ tale che $\sqrt {n}$ abbia come prime 4 cifre dopo la virgola, nell'ordine $1,2,3$ e $4$.
Visto che l'altro problema è durato così poco ne propongo un altro
Lungo una circonferenza sono disposti 100 numeri reali distinti.
Dimostrare che ne esistono 4 consecutivi tali che la somma dei due laterali è minore della
somma dei 2 centrali.
Alberto e Barbara hanno una pila di $n$ monete. A turno, iniziando da Alberto, prelevano un
po’ di monete dalla pila, con la regola che ad ogni turno bisogna prelevarne almeno una e
lasciarne almeno un decimo di quelle che si sono trovate. Il giocatore che lascia nella pila una
sola moneta perde.
Determinare il più piccolo $n ≥ 2012$ per cui Barbara ha una strategia vincente.
Un cubo col lato di 20cm è stato ottenuto incollando tra loro 8000 cubetti col lato di un centimetro.
Un pistolero lo getta in aria e gli spara una pallottola (che supponiamo puntiforme!) che lo trapassa da parte a parte.
Qual è il massimo numero di cubetti che può aver bucato?
Risposta
58
Tracciando una delle due diagonali di un trapezio, questo rimane diviso in due parti di area 946 e 903. Tracciando anche l’altra diagonale le parti diventano 4. Qual è l’area della parte più grande tra le quattro?
Introduzione
Ci sono numeri interi positvi con la seguente proprietà:
“Lo spostarne le ultime due cifre dalla coda alla testa equivale a moltiplicarli per tre".
Sia, per esempuo n = 2608695652173913043478. Allora si ha:
3·n = 3·2608695652173913043478 = 7826086956521739130434.
Il quiz
Trovare il più picolo ed il più grande intero positivo con la proprietà detta nella Introduzione.
________
Il triangolo di Reuleaux è la più famosa tra le figure piane di larghezza costante (dopo il cerchio ovviamente). Una delle caratteristiche di queste figure è quella di poter ruotare liberamente all'interno di un opportuno quadrato, rimanendo però sempre in contatto con ognuno dei quattro lati.
Una classe di figure simile è quella delle cosiddette $Delta\text(-curve)$; a differenza delle precedenti, queste possono ruotare all'interno di un triangolo equilatero.
Una delle più semplici (oltre al ...
Ogni numero naturale dispari come $n=2k+1$ è la somma di (almeno) una sequenza di interi positivi consecutivi; in mancanza di meglio c'è sempre la banale $k+(k+1)=2k+1$ .
Ma qualcuno ne ha diverse, per esempio $21=10+11=6+7+8=1+2+3+4+5+6$
Ecco allora il problema di oggi: determinare la lunghezza $L$ della più lunga sequenza di interi positivi consecutivi che sommati diano come risultato $3^11$
Cordialmente, Alex
Un intero viene ridotto ad un nono del suo valore quando una certa cifra di quelle che lo compongono viene cancellata ed inoltre anche il numero risultante dalla divisione è divisibile per nove.
- Provare che è possibile compiere questa seconda divisione allo stesso modo della prima ovvero cancellando una certa cifra
- Determinare tutti gli interi che soddisfano le condizioni del problema.
Cordialmente, Alex
Prendete un numero naturale e sommate i quadrati di ognuna delle sue cifre.
Poi ripetete la stessa operazione sul risultato.
E poi ancora, e ancora …
Per esempio ...
$2583\ ->\ 2^2+5^2+8^2+3^2=102\ ->\ 1^2+0^2+2^2=5\ ->\ 5^2=25\ ->\ 2^2+5^2=29\ ->\ ...$
Dimostrate che prima o poi o arrivate al numero $1$ (che si ripete indefinitamente) oppure al numero $145$ e alla sequenza $145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89$ (che si ripete indefinitamente anch'essa)
Cordialmente, Alex
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