Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Se $n$ è un intero positivo, quante soluzioni reali ci sono, come funzione di $n$, nell'equazione $e^x=x^n$ ?
Cordialmente, Alex
Risolvere l'equazione $(cos(x))^n-(sin(x))^n=1$ dove $n$ è un numero naturale.
Cordialmente, Alex
Avete a disposizione tre grandi secchi, ciascuno contenente un numero intero di litri d'acqua.
Ad ogni mossa, dovete raddoppiare il contenuto di uno dei secchi versandovi l'acqua contenuta in uno degli altri, il quale ovviamente ne dovrà contenere almeno altrettanta.
Ovvero potete versare acqua da un secchio che ne contiene $x$ litri in uno che ne contiene $y<=x$ litri, fino a che quest'ultimo ne contenga $2y$ (e il primo $x-y$).
Dimostrare ...
Considerata l'equazione diofantea
\[
a^n+b^n=p^n
\]
con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq3},\,a,b,p\in\mathbb{Z}\).
Dimostrare che esistono solo le soluzioni banali[nota]Intendo per banale quelle soluzioni che si ottengono per \(\displaystyle a=0\) o \(\displaystyle b=0\).[/nota] con \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\), ovvero con \(\displaystyle p\) numero primo.
[ot]È oltre una settimana che vedo e leggo, in maniera assolutamente errata, di questo teorema;
a questo punto, propongo un ...
Sia \( f : \mathbb{Q}_+ \to \mathbb{Q}_+ \) tale che \( \forall x,y \in \mathbb{Q}_+ \)
\[ f(f^2(x)y)=x^3f(xy) \]
Inoltre sia \( (q_n)_{n\in \mathbb{N}} \) una successione con \(q_n \in \mathbb{Q}_{\geq 1} \) per ogni \(n \in \mathbb{N} \) e dove \(q_0=1\). Poniamo inoltre
\[ \mathcal{P} := \{ p_n \in \mathbb{Q}[x] : \deg p_n = n, p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f(q_{n-k})x^k \} \]
Per \(n \in \mathbb{N} \) fissato poniamo
\[ \mathcal{X}_n := \{ x \in \mathbb{R} : p_n(x)=0 , p_n \in \mathcal{P} \} ...
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Studente Anonimo
23 mag 2020, 00:08
Salve a tutti, vi propongo un problema che non riesco a risolvere:
Dimostrare che, dato $ theta | sin(theta)=4/5, cos(theta)=3/5 $ , scrivendo la successione $ a_n= cos(ntheta+alpha) $ allora $ a_n $ non assume lo stesso valore più di due volte.
La mia idea era questa (ma non so come svilupparla):
dimostrare che $ theta ne pik/m $ con $ kin ZZ, m in ZZ-{0} $ e quindi a prescindere dal valore di $ n $ (e quindi dal numero di "giri" che si fanno) $ cos(alpha+n theta ) $ non assume mai ...
Risolvere, per \( x \in [0,\pi] \), l'equazione seguente
\[ \sin^3(x) + \frac{4+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} [\cos(x) + 1 - \sin(x)] \cdot \sin(x) \cdot [\cos(x)+1] - [\cos(x)+1]^3 = 0 \]
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Studente Anonimo
16 mag 2020, 18:17
determinare n in modo che sia $ sinx/sin(nx)=1$
ciao
OH
Buonasera, vorrei proporvi un problema che non riesco a risolvere:
chiamiamo $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $ che si definisce come $ a-[a]={a} $ dove $ [a] $ è la parte intera di $ a $ cioè il minimo intero minore di $ a $ , allora dimostrare che esiste una terna $ x,y,z in Z t.c. x,y,z>n in N$per cui $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ .
Indipendentemente da quanti e quali numeri reali $x_1, x_2, …, x_n$ si possano selezionare nell'intervallo chiuso $[0, 1]$, si può dimostrare che esiste sempre un numero reale $x$ in quell'intervallo tale che la distanza media in valore assoluto dai vari $x_i$ sia pari esattamente a $1/2$, cioè:
$1/n sum_(i=1)^n |x-x_i| = 1/2$?
Cordialmente, Alex
Problema:
È possibile riempire le nove caselle:
\[
\square\ \square\ \square\ \square\ \square\ \square\ \square\ \square\ \square
\]
con le cifre $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ in modo che il numero ottenuto goda della seguente proprietà? Per ogni $n=1, ..., 9$, il numero formato dalle prime $n$ cifre da sinistra è divisibile per $n$, cioè:
\[
\overbrace{\underbrace{\overbrace{\underbrace{\overbrace{\underbrace{\overbrace{\underbrace{\square\qquad ...
Trovare tutte le soluzioni per \((x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \) che soddisfano il seguente sistema
\[ \left\{\begin{matrix}
x &+&y &+&z&+ &t &= & -1 \\
\frac{1}{x} &+&\frac{1}{y}&+&\frac{1}{z}&+ &\frac{1}{t} &= & \frac{1}{6} \\
x^2 &+&y^2 &+&z^2&+ &t^2 &= & 15 \\
& & \frac{xy}{3}&-&\frac{2}{zt}& & &= & 0 \\
\end{matrix}\right. \]
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Studente Anonimo
11 apr 2020, 17:47
Disegniamo una semicirconferenza nel primo quadrante "appoggiata" sull'asse delle $x$ e con un estremo nell'origine.
Disegniamo poi una circonferenza di raggio $r$, centrata nell'origine, che intersechi la semicirconferenza.
Chiamiamo $A$ il punto di intersezione della circonferenza con l'asse positivo delle ordinate e chiamiamo $B$ l'intersezione tra circonferenza e semicirconferenza.
Tracciamo la semiretta uscente da $A$ e ...
Ciao ho bisogno di un aiuto con questo esercizio, che secondo me è scritto male.
Per come è scritto io farei 7+6=13% e farei il 13% di 40 il totale...ma cosi non è.
ESERCIZIO
In un cocktail sono stati miscelati 10 litri di una bibita che contiene il 6% di alcool e 30 litri di una seconda bibita che contiene il 7% di alcool. Qual è la percentuale di alcool contenuta nel cocktail?
Dato il triangolo $ABC$, si costruiscano, esternamente ai lati, i tre triangoli $ADB, BEC, CFA$ tali che $\hatD+\hatE+\hatF=180°$
Dimostrare che i tre cerchi circoscritti a questi tre triangoli hanno un punto in comune.
Dimostrare, inoltre, che il triangolo formato dai centri di questi tre cerchi ha gli angoli pari a $\hatD, \hatE, \hatF$
Cordialmente, Alex
Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione
$(12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=5$
senza realmente espandere i prodotti.
Cordialmente, Alex
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