"Scissione" del teorema fondamentale dell'aritmetica.

[Studente Anonimo]

Sia \( S = \{ 1,5,9,13,17,\ldots \} \) l'insieme degli interi positivi della forma \(4n+1\).
Definiamo un \(S\)-primo \(p\), se \(S \ni p > 1 \) e se gli unici divisori di \(p\) che appartengono a \(S\) sono \(1\) e \(p\).
Definiamo un \(S\)-composto \(s\), se \(S \ni s > 1 \) come un non \(S\)-primo.

a) Dimostrare che ogni \(S\)-composto è prodotto di \(S\)-primi.
b) Trovare il più piccolo \(S\)-composto che può essere fattorizzato in \(S\)-primi in più di un modo.


In modo analogo definiamo \( T = \{ 1,3,7,11,15,19 \ldots \} \) come l'insieme degli interi positivi della forma \(4n+3\) con l'aggiunta di \(1\). In modo analogo
Definiamo un \(T\)-primo \(p\), se \(T \ni p > 1 \) e se gli unici divisori di \(p\) che appartengono a \(T\) sono \(1\) e \(p\).
Definiamo un \(T\)-composto \(t\), se \(T \ni t > 1 \) come un non \(T\)-primo.

c) È vero che un \(T\)-composto è fattorizzabile in \(T\)-primi? Se sì, dimostrarlo. Altrimenti dare il più piccolo \(T\)-composto che non è fattorizzabile in \(T\)-primi.
d) Per i \(T\)-composti che sono fattorizzabili in \(T\)-primi, è vero che tale fattorizzazione è unica? Se sì, dimostrarlo. Altrimenti dare il più piccolo \(T\)-composto che può essere fattorizzato in \(T\)-primi in più di un modo.

[axpgn]

Solo per rompere le scatole ...

Io non userei $n$ per definire gli elementi di $S$ dato che la usi ancora subito dopo in un altro significato.



Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"axpgn":Solo per rompere le scatole ...

Io non userei $n$ per definire gli elementi di $S$ dato che la usi ancora subito dopo in un altro significato.



Cordialmente, Alex

Meglio?

[axpgn]

"3m0o":a) Dimostrare che ogni \(S\)-composto è prodotto di \(S\)-primi.

Sei sicuro? $7*11=77$

[axpgn]

"3m0o":Meglio?

No, avrei usato $4k+1$

[Studente Anonimo]

"axpgn":[quote="3m0o"]a) Dimostrare che ogni \(S\)-composto è prodotto di \(S\)-primi.

Sei sicuro? $7*11=77$[/quote]
Hai confuso i \(S\)-composti con i \(T\)-composti. \(7=4+3 \) mentre \(11=8+3\)

[Studente Anonimo]

Ah no... non gli hai confusi, ho capito ora la tua argomentazione! Comunque sì, sono sicuro

Domandati: 77 è \(S\)-composto?

[axpgn]

No, scusami, hai detto che gli $S$ composti sono prodotti solo da $S$ primi ma $77$ è un $S$ composto prodotto da $T$ primi, no?

[ot]"non LI hai confusi" [/ot]

[Studente Anonimo]

Guarda il messaggio subito sopra.

[axpgn]

In effetti, è un $S$ primo ... però così non vale ... voglio dire, così non c'è niente da dimostrare, li hai esclusi in partenza ...

[Studente Anonimo]

Esatto!

Comunque scusa,

Ah no... non gLI hai confusi, ho capito ora la tua argomentazione! Comunque sì, sono sicuro

[axpgn]

[ot]

"3m0o":Comunque scusa,

Non ho capito cosa intendi con questo e comunque niente scuse [/ot]

[Studente Anonimo]

"axpgn":In effetti, è un $S$ primo ... però così non vale ... voglio dire, così non c'è niente da dimostrare, li hai esclusi in partenza ...

Non è vero! C'è da dimostrare.

Hai capito quali sono gli \(S\)-primi. Ora devi capire quali sono gli \(S\)-composti. A priori un \(S\)-composto potrebbe essere fattorizzabile solamente in primi (nel senso comune) ma non in \(S\)-primi.

[ot]Era una battuta! Guarda come ho corretto [/ot]

[axpgn]

Dunque, vediamo se mi sono incartato ...

Un numero $S$-composto è comunque sempre fattorizzabile i "normali" numeri primi che chiameremo di tipo $r$ se della forma $4k+1$ e di tipo $t$ se della dorma $4k+3$.
Un $S$-composto non può avere un numero di dispari di fattori tipo $t$ nella sua scomposizione altrimenti non apparterrebbe ad $S$ (perché sarebbe della forma $4k+3$).
Quindi possiede, eventualmente, un numero pari di fattori di tipo $t$ che si "trasformano" in tipo $r$ a coppie.
E riassumendo ... se $S$-composto è scomponibile in un'unica coppia di fattori $t$ questi si "elidono" trasformandosi in un unico tipo $r$ e quindi il nostro $S$-composto in realtà è un $S$-primo; se è scomponibile in più coppie tipo $t$ queste diventano tutte di tipo $r$ e quindi il nostro $S$-composto è veramente composto (da soli tipi $r$ ai quali si può applicare lo stesso ragionamento qui fatto); oppure non ha nessun tipo $t$ tra i suoi fattori primi ma solo tipo $r$.

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Penso che tu non ti sia incartato. Ma non hai effettivamente risposto a nessuna domanda, tranne forse alla prima

[hydro1]

"3m0o":Sia \( S = \{ 1,5,9,13,17,\ldots \} \) l'insieme degli interi positivi della forma \(4n+1\).
Definiamo un \(S\)-primo \(p\), se \(S \ni p > 1 \) e se gli unici divisori di \(p\) che appartengono a \(S\) sono \(1\) e \(p\).
Definiamo un \(S\)-composto \(s\), se \(S \ni s > 1 \) come un non \(S\)-primo.

a) Dimostrare che ogni \(S\)-composto è prodotto di \(S\)-primi.
b) Trovare il più piccolo \(S\)-composto che può essere fattorizzato in \(S\)-primi in più di un modo.

Un naturale vive in $S$ se e solo se è dispari la sua fattorizzazione in primi contiene un numero pari di primi $\equiv 3 mod 4$. Ora a) si mostra per induzione sull'insieme degli $S$-composti, il cui elemento più piccolo è 25. Questo è $5^2$, e 5 è $S$-primo. Ora sia $n>5$ $S$-composto: siccome non è $S$-primo allora ammette un divisore $S$-primo $m$. Ora $n=mr$ per qualche $r\in S$. Se $r$ è $S$-primo ho finito, se non lo è ho finito ancora per induzione.
Per b) basta prendere i primi 4 primi che sono 3 modulo 4: $3,7,11,19$. Allora $n=3\cdot 7\cdot 11\cdot 19$ vive in S e si scompone come $21\cdot (11\cdot 19)$ ma anche come $33\cdot (7\cdot 19)$.

[axpgn]

@3m0o

Ho risposto alla prima domanda, forse in modo contorto ma ho risposto, La seconda viene di conseguenza.

Insomma, un elemento di $S$ si può scomporre in primi "normali" che possono essere di due sole forme cioè $4k+1$ e $4k+3$ (tranne il $2$ che però qui è di fatto escluso); chiamo $r$ i primi della prima forma e $q$ quelli della seconda.
Si ha che $r*r=r, r*q=q, q*q=r$.
Da ciò ne consegue che un elemento di $S$ può essere scomposto in fattori primi "normali" solo se contiene un numero pari di fattori tipo $q$ (altrimenti non appartiene ad $S$ ma a $T$).
Se l'elemento di $S$ è formato esclusivamente da una sola coppia di tipo $q$ allora è un $S$-primo perché non è divisibile che da $1$ e da stesso (in $S$) mentre se è formato da più coppie di $q$ (con o senza tipi $r$) o solamente da tipi $r$ allora è $S$-composto.

Cordialmente, Alex

[hydro1]

"3m0o":

In modo analogo definiamo \( T = \{ 1,3,7,11,15,19 \ldots \} \) come l'insieme degli interi positivi della forma \(4n+3\) con l'aggiunta di \(1\). In modo analogo
Definiamo un \(T\)-primo \(p\), se \(T \ni p > 1 \) e se gli unici divisori di \(p\) che appartengono a \(T\) sono \(1\) e \(p\).
Definiamo un \(T\)-composto \(t\), se \(T \ni t > 1 \) come un non \(T\)-primo.

c) È vero che un \(T\)-composto è fattorizzabile in \(T\)-primi? Se sì, dimostrarlo. Altrimenti dare il più piccolo \(T\)-composto che non è fattorizzabile in \(T\)-primi.
d) Per i \(T\)-composti che sono fattorizzabili in \(T\)-primi, è vero che tale fattorizzazione è unica? Se sì, dimostrarlo. Altrimenti dare il più piccolo \(T\)-composto che può essere fattorizzato in \(T\)-primi in più di un modo.

c) Non è vero, ad esempio $15$ non è $T$-primo perchè è divisibile per 3 ma non è scomponibile come prodotto di $T$-primi. d) $n$ è $T$-primo se e solo se è un primo congruo a 3 modulo 4, quindi direi che la risposta è per forza sì.

[Studente Anonimo]

@hydro

Tutto giusto, tranne la b)

@axpgn

[hydro1]

Ah certo che sciocco è $9\cdot 49=21^2$