Semplificare

[axpgn]

A proposito di semplificazioni ...


Calcolare $N=[(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)]/[(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)]$


È vietato usare calcolatrici e simili!

È sufficiente trovare qualche buona idea ...


Cordialmente, Alex

P.S.: È un quesito che viene da gare.

[giammaria2]

Direi però che un calcolo verso la fine va fatto, a mano o con la calcolatrice.

Noto che $324=4*3^4$ e che
$a^4+4*3^4=(a^2+2*3^2)^2-4a^2*3^2=(a^2+2*3^2-2a*3)(a^2+2*3^2+2a*3)=[(a-3)^2+3^2][(a+3)^2+3^2]$

Applicando questa formula ottengo

numeratore =$(7^2+3^2)(13^2+3^2)(19^2+3^2)(25^2+3^2)(31^2+3^2)(37^2+3^2)(43^2+3^2)(49^2+3^2)*$
$" " " "*(55^2+3^2)(61^2+3^2)$
denominatore =$(1^2+3^2)(7^2+3^2)(13^2+3^2)(19^2+3^2)(25^2+3^2)(31^2+3^2)(37^2+3^2)(43^2+3^2)$
$" " " "*(49^2+3^2)(55^2+3^2)$

Quasi tutto si semplifica e resta
$N=(61^2+3^2)/(1^2+3^2)=3730/10=373$

[axpgn]

Bravissimo.

Nel commentario delle soluzioni è mostrata questa strada (vediamo se ti piace, io la trovo carina ):

Parte col notare che $324=18^2$ e che le varie espressioni nelle parentesi sono tutte del tipo $a^4+18^2$.
Non potendo scomporlo direttamente, passa al completamento del quadrato, così $a^4+18^2=(a^2+18)^2-36a^2=(a^2+18+6a)(a^2+18-6a)$

E qui c'è la prima idea brillante, riscrivere $N$ come $N=Pi_(k=0)^4 ((10+12k)^4+18^2)/((4+12k)^4+18^2)$ da cui, effettuando la sostituzione di cui sopra, si ha $N=Pi_(k=0)^4 [((10+12k)^2+18+6(10+12k))((10+12k)^2+18-6(10+12k))]/[((4+12k)^2+18+6(4+12k))((4+12k)^2+18-6(4+12k))]$
che semplificata dà $N=Pi_(k=0)^4 [(144k^2+312k+178)(144k^2+168k+58)]/[(144k^2+168k+58)(144k^2+24k+10)]$ da cui $N=Pi_(k=0)^4 (144k^2+312k+178)/(144k^2+24k+10)$

Qui c'è la seconda idea brillante ovvero "vedere" la produttoria come $N=Pi_(k=0)^4 n_k/d_k=(n_0n_1n_2n_3n_4)/(d_0d_1d_2d_3d_4)$ ma soprattutto notare che $d_(k+1)=n_k$ cioè $d_(k+1)=144(k+1)^2+24(k+1)+10=144k^2+312k+178=n_k$

E quindi $N=n_4/d_0=3730/10=373$

"giammaria":Direi però che un calcolo verso la fine va fatto, a mano o con la calcolatrice.

Direi di no, direi che si può fare tutto a mente ... $61^2=(60+1)^2=3600+1+2*60*1=3721$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Direi che la soluzione che proponi è sostanzialmente uguale alla mia, dato che inizialmente ha solo scritto $18$ al posto del mio $2*3^2$; comunque è più intuitivo. Poi ha semplificato un pezzo per volta, mentre io l'ho fatto tutto assieme. Per inciso, le produttorie non mi piacciono e le evito sempre.
Quanto all'ultimo calcolo, avevo anch'io pensato a qualcosa del genere, ma mi sembrava più veloce calcolare direttamente $61^2$.