Scervelliamoci un po'

Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.

Domande e risposte

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Un insieme \(P \subseteq \mathbb{N} \) è detto primitivo se per ogni \(n,m \in P \) tale che \(n/m \in \mathbb{N} \) allora risulta che \(n=m \). Dimostrare che \( P = \{ n : n \text{ è un numero perfetto } \} \) è un insieme primitivo. Ricordo che un numero è detto perfetto se la somma dei divisori propri di \(n \) danno \(n\).

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Siano \(p,p+2 > 3 \) due numeri primi gemelli, e sia \(r\) la radice numerica, dimostrare che \(r(p(p+2))=8 \). La radice numerica di un numero intero è il risultato della somma delle sue cifre iterato fino ad ottenere un numero con una cifra sola. Ad esempio \( r(456)=6 \) poiché \(4+5+6=15 \) e \(1+5=6 \).

axpgn
Su un terreno orizzontale poggiano due muri verticali e paralleli fra loro. Un'asta di lunghezza $a$ ha un'estremità appoggiata alla base del muro di sinistra e l'altra estremità appoggiata al muro di destra. Un'altra asta di lunghezza $b$ ha un'estremità appoggiata alla base del muro di destra e l'altra estremità appoggiata al muro di sinistra. Quale deve essere la distanza tra i due muri affinché le due aste si incrocino all'altezza $h$? Quali sono ...
2
28 giu 2022, 23:34

dan952
Dimostrare che per ogni $k$ intero non nullo e $n$ numero naturale positivo vale $2^n\cos(k)\cos(2k)\cdots \cos(2^{n-1}k) \ne 1$ Edit: come giustamente fatto notare da Giammaria gli angoli sono in radianti.
5
8 lug 2022, 19:55

Ilrisolutore
Buongiorno, per mantenere la mente fresca ultimamente faccio quiz di natura matematica ma anche altro. Ho alcune domande da fare relativi a esercizi che mi sono capitati: 1) Completare la seguente proporzione. 4:x = x:9 Non ci sono altri dettagli, se non le soluzioni: x=5 x=12 x=3 x=6 2)Serie numerica: 3 25 8 ? 6 22 Soluzioni: 20, 28, 12 3)Serie numerica: 27, 192, 9, ?, 3, 12 Soluzioni: 48,119, 21 4) 44 6 16 meno 62 8 12 più 59 14 21 meno 37 10 21 più 65 30 11 ...
16
24 giu 2022, 10:06

axpgn
Provare che una mappa formata da un numero finito di cerchi può essere colorata con due soli colori. Questa mappa per esempio ... Cordialmente, Alex
6
4 lug 2022, 23:58

dan952
Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti interi tale che assume valore un numero primo per ogni intero, allora $p(x)$ è costante.
4
6 lug 2022, 16:43

dan952
Dimostrare che $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i-x_j|} \leq \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i+x_j|}$$ vale per ogni numero reale $x_1, x_2 \cdots, x_n$.
13
30 giu 2022, 05:05

Sdavas
Ho preso in esame il problema 4 della finale di Cesenatico sezione pubblico: "Eigen Man ha deciso che perdonerà Capitan Numerica solo se quest’ultimo risolverà il quesito seguente. Sia p un primo positivo per cui esistono m,n interi tali che p | m, φ(m) | n, e φ(n) | m, dove φ indica la funzione φ di Eulero". E' facile verificare il caso in cui p=2 m=16 φ(m)=8 n=8 φ(n)=4 e p=3 m=18 φ(m)=6 n=54 φ(n)=18 Non sono però riuscito a trovare altri primi per i quali valga la relazione indicata nel ...
3
3 lug 2022, 17:23

dan952
Siano $x,y, n$ interi positivi, con $(x,y)=1$. Dimostrare che $\frac{x^n-y^n}{x^{n-1}-y^{n-1}}$ è intero se e solo se $n=2$. Hint: $\frac{x^n-y^n}{x-y}-x\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}=y^{n-1}$
8
27 giu 2022, 19:11

axpgn
Data una fila di triangoli equilateri di lati $1, 3, 5, ...$, posizionati con la base su una stessa retta ed un vertice in comune, dimostrare che i vertici (quelli opposti alla base) giacciono su una parabola e sono tutti a distanza intera dal suo fuoco. Cordialmente, Alex
6
24 giu 2022, 23:52

dan952
Siano $a,b,c$ numeri reali non nulli tali che $a+b+c=2022$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1/2022$ Calcolare $\frac{1}{a^2022}+\frac{1}{b^2022}+\frac{1}{c^2022}$
4
25 giu 2022, 09:55

gugo82
Problema È noto che se un'equazione algebrica di secondo grado: $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a != 0$) ha $Delta = b^2 - 4ac > 0$ allora la somma delle due soluzioni $x_{1,2}$ è data da: (1) $x_1 + x_2 = -b/a$. 1. Dimostra che la somma dei due quadrati delle soluzioni è: (2) $x_1^2 + x_2^2 = (b^2 - 2ac)/a^2$. 2. Trova una formula per $x_1^3 + x_2^3$ ed $x_1^4 + x_2^4$. 3. Osserva le quattro formule calcolate e studiane le regolarità. Puoi elaborare una congettura circa una possibile formula per ...
9
1 giu 2022, 03:36

Sdavas
Ho riscontrato un problema nel "1996 CHICAGO AREA ALL-STAR MATH TEAM TRYOUTS", numero 8. "Il triangolo acutangolo ABC è inscritto in un cerchio. Le altezze AM e CN sono estese per incontrare il cerchio rispettivamente in P e Q. Se PQ:AC = 7:2, trovare sin∠ABC." Lascio la figura in allegato (i valori angolari sono solo indicativi). L'angolo ABC è uguale all'angolo AQC perché insistono sullo stesso arco. Se D è l'ortocentro, l'angolo ABD è uguale a PQC. L'angolo ABC è uguale all'angolo APC. ...
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25 giu 2022, 12:54

dan952
Determinare tutti i polinomi $P(x)$ a coefficienti reali tali che $P(x^3-2)=P(x)^3-2$
23
18 giu 2022, 13:55

edocaracal
Salve a tutti, Ultimamente mi è capitato di scervellarmi sulla risoluzione di un quesito dell'esame di ammissione in Normale che recita come segue: Trovare le soluzioni reali dell'equazione : (x^3+1)^3=8(2x-1) Sono arrivato, dopo una serie di passaggi (sostanzialmente ho sviluppato e scomposto usando la somma di una serie geometrica una volta che ho scoperto che x=1 era soluzione del polinomio e la somma di una serie geometrica di ragione r è a1(1-r alla n+1)/1-r Dunque il polinomio a cui ...
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3 giu 2022, 17:48

axpgn
Sia $S$ l'insieme degli interi positivi dispari composti minori di $79$. a) dimostrare che $S$ può essere scritto come l'unione di tre progressioni aritmetiche, non necessariamente disgiunte. b) dimostrare che $S$ NON può essere scritto come l'unione di due progressioni aritmetiche. Cordialmente, Alex
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24 mag 2022, 22:56

axpgn
Denominiamo con $h$ e $k$ (dove $h!=k$), due delle tre altezze di un triangolo. Determinare gli estremi superiore e inferiore della terza altezza in funzione di $h$ e $k$ Cordialmente, Alex
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17 mag 2022, 23:33

axpgn
Un pugno "irrazionale" centrato sul punto $P$ del piano, rimuove tutti i punti del piano che si trovano ad una distanza irrazionale da $P$. Qual è il numero minimo di pugni irrazionali, necessari per "eliminare" tutti i punti del piano? Cordialmente, Alex [size=85]Nota: Ho la risposta ma non ho capito perché funzioni. [/size]
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29 apr 2022, 23:19

axpgn
Una libreria aperta sette giorni su sette, nell'anno 2005 ha venduto in totale $600$ libri ed almeno un libro al giorno. È vero che deve esistere un periodo di giorni consecutivi nel quale, complessivamente, ha venduto esattamente $129$ libri? Cordialmente, Alex
4
9 mag 2022, 23:22