Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Un insieme \(P \subseteq \mathbb{N} \) è detto primitivo se per ogni \(n,m \in P \) tale che \(n/m \in \mathbb{N} \) allora risulta che \(n=m \).
Dimostrare che \( P = \{ n : n \text{ è un numero perfetto } \} \) è un insieme primitivo. Ricordo che un numero è detto perfetto se la somma dei divisori propri di \(n \) danno \(n\).
Siano \(p,p+2 > 3 \) due numeri primi gemelli, e sia \(r\) la radice numerica, dimostrare che \(r(p(p+2))=8 \).
La radice numerica di un numero intero è il risultato della somma delle sue cifre iterato fino ad ottenere un numero con una cifra sola. Ad esempio \( r(456)=6 \) poiché \(4+5+6=15 \) e \(1+5=6 \).
Su un terreno orizzontale poggiano due muri verticali e paralleli fra loro.
Un'asta di lunghezza $a$ ha un'estremità appoggiata alla base del muro di sinistra e l'altra estremità appoggiata al muro di destra.
Un'altra asta di lunghezza $b$ ha un'estremità appoggiata alla base del muro di destra e l'altra estremità appoggiata al muro di sinistra.
Quale deve essere la distanza tra i due muri affinché le due aste si incrocino all'altezza $h$?
Quali sono ...
Dimostrare che per ogni $k$ intero non nullo e $n$ numero naturale positivo vale
$2^n\cos(k)\cos(2k)\cdots \cos(2^{n-1}k) \ne 1$
Edit: come giustamente fatto notare da Giammaria gli angoli sono in radianti.
Buongiorno, per mantenere la mente fresca ultimamente faccio quiz di natura matematica ma anche altro. Ho alcune domande da fare relativi a esercizi che mi sono capitati:
1) Completare la seguente proporzione.
4:x = x:9
Non ci sono altri dettagli, se non le soluzioni:
x=5
x=12
x=3
x=6
2)Serie numerica: 3 25 8 ? 6 22
Soluzioni: 20, 28, 12
3)Serie numerica: 27, 192, 9, ?, 3, 12
Soluzioni: 48,119, 21
4) 44 6 16 meno
62 8 12 più
59 14 21 meno
37 10 21 più
65 30 11 ...
Se $p(x)$ è un polinomio a coefficienti interi tale che assume valore un numero primo per ogni intero, allora $p(x)$ è costante.
Dimostrare che
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i-x_j|} \leq \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i+x_j|}$$
vale per ogni numero reale $x_1, x_2 \cdots, x_n$.
Ho preso in esame il problema 4 della finale di Cesenatico sezione pubblico:
"Eigen Man ha deciso che perdonerà Capitan Numerica solo se quest’ultimo risolverà il quesito seguente. Sia p
un primo positivo per cui esistono m,n interi tali che p | m, φ(m) | n, e φ(n) | m, dove φ indica la funzione φ di Eulero".
E' facile verificare il caso in cui p=2
m=16 φ(m)=8
n=8 φ(n)=4
e p=3
m=18 φ(m)=6
n=54 φ(n)=18
Non sono però riuscito a trovare altri primi per i quali valga la relazione indicata nel ...
Siano $x,y, n$ interi positivi, con $(x,y)=1$. Dimostrare che
$\frac{x^n-y^n}{x^{n-1}-y^{n-1}}$ è intero se e solo se $n=2$.
Hint:
$\frac{x^n-y^n}{x-y}-x\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}=y^{n-1}$
Siano $a,b,c$ numeri reali non nulli tali che
$a+b+c=2022$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1/2022$
Calcolare
$\frac{1}{a^2022}+\frac{1}{b^2022}+\frac{1}{c^2022}$
Problema
È noto che se un'equazione algebrica di secondo grado:
$ax^2 + bx + c = 0$ (con $a != 0$)
ha $Delta = b^2 - 4ac > 0$ allora la somma delle due soluzioni $x_{1,2}$ è data da:
(1) $x_1 + x_2 = -b/a$.
1. Dimostra che la somma dei due quadrati delle soluzioni è:
(2) $x_1^2 + x_2^2 = (b^2 - 2ac)/a^2$.
2. Trova una formula per $x_1^3 + x_2^3$ ed $x_1^4 + x_2^4$.
3. Osserva le quattro formule calcolate e studiane le regolarità. Puoi elaborare una congettura circa una possibile formula per ...
Ho riscontrato un problema nel "1996 CHICAGO AREA ALL-STAR MATH TEAM TRYOUTS", numero 8.
"Il triangolo acutangolo ABC è inscritto in un cerchio. Le altezze AM e CN sono estese per incontrare il cerchio
rispettivamente in P e Q. Se PQ:AC = 7:2, trovare sin∠ABC."
Lascio la figura in allegato (i valori angolari sono solo indicativi).
L'angolo ABC è uguale all'angolo AQC perché insistono sullo stesso arco. Se D è l'ortocentro, l'angolo ABD è uguale a PQC. L'angolo ABC è uguale all'angolo APC. ...
Determinare tutti i polinomi $P(x)$ a coefficienti reali tali che
$P(x^3-2)=P(x)^3-2$
Salve a tutti,
Ultimamente mi è capitato di scervellarmi sulla risoluzione di un quesito dell'esame di ammissione in Normale che recita come segue:
Trovare le soluzioni reali dell'equazione : (x^3+1)^3=8(2x-1)
Sono arrivato, dopo una serie di passaggi (sostanzialmente ho sviluppato e scomposto usando la somma di una serie geometrica una volta che ho scoperto che x=1 era soluzione del polinomio e la somma di una serie geometrica di ragione r è a1(1-r alla n+1)/1-r
Dunque il polinomio a cui ...
Sia $S$ l'insieme degli interi positivi dispari composti minori di $79$.
a) dimostrare che $S$ può essere scritto come l'unione di tre progressioni aritmetiche, non necessariamente disgiunte.
b) dimostrare che $S$ NON può essere scritto come l'unione di due progressioni aritmetiche.
Cordialmente, Alex
Denominiamo con $h$ e $k$ (dove $h!=k$), due delle tre altezze di un triangolo.
Determinare gli estremi superiore e inferiore della terza altezza in funzione di $h$ e $k$
Cordialmente, Alex
Un pugno "irrazionale" centrato sul punto $P$ del piano, rimuove tutti i punti del piano che si trovano ad una distanza irrazionale da $P$.
Qual è il numero minimo di pugni irrazionali, necessari per "eliminare" tutti i punti del piano?
Cordialmente, Alex
[size=85]Nota: Ho la risposta ma non ho capito perché funzioni. [/size]
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