Un'altra equazione

[axpgn]

Trovare tutte le soluzioni di [size=200]$x^(y/z)=y^(z/x)=z^(x/y)$[/size] dove $x, y, z$ sono numeri reali positivi.



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Considero inizialmente il caso di due incognite uguali, e sia $x=y$; l'equazione diventa [size=150]$x^(x/z)=x^(z/x)=z$[/size].
Dalla prima eguaglianza ricavo $x/z=z/x->x^2=z^2->x=z$, quindi anche la terza incognita è uguale alle altre ed ho la soluzione $x=y=z$, con qualsiasi valore positivo.
Dimostro ora che non ci sono altre soluzioni.
Comincio col notare che le tre potenze date hanno lo stesso valore e che si può trascurare il caso in questo valore è 1 (dato che gli esponenti non possono annullarsi, le tre basi dovrebbero valere 1 e saremmo nel caso precedente). Le tre potenze possono essere quindi tutte maggiori o tutte minori di 1 e lo stesso vale per le loro basi $x,y,z$, dato che abbiamo esponenti positivi.
Avendo escluso le incognite uguali, suppongo di avere $x>y>z$; le due eguaglianze originano quindi
[size=150]$x^(y/z) - Se $x,y,z>1$, dalla prima formula ricavo $y/zxy - Se $x,y,z<1$, dalla seconda formula ricavo $z/x>x/y->yz>x^2$: impossibile perché $y,z$ sono minori di $x$ e quindi il loro prodotto è minore di $x^2$.

[axpgn]

Va bene però c'è qualcosa che non mi torna ...

Premesso che, a mio parere, la soluzione $x=y=z$ è ovvia, senza fare ragionamenti (non sei d'accordo?), se supponi $x>y>z$ non mi tornano i versi delle disuguaglianze, o meglio, non tornano finché non fissi le basi maggiori o minori di $1$ e comunque mi pare che hai invertito i versi o mi sbaglio?

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Le tue osservazioni si riferiscono proprio ai punti che mi avevano creato dubbi ed a cui ho quindi dedicato particolare attenzione; non vedo errori ma sono tutt'altro che infallibile.
Per non distogliere l'attenzione e per comodità indico gli esponenti con altre lettere; è sottinteso che tutte le lettere indicano numeri positivi.

Concordo col fatto che la soluzione trovata è ovvia; ho fatto calcoli solo per eliminare il dubbio che possa esserci una soluzione del tipo $x=y !=z$.
Sapendo che $y Unendo alla precedente formula la $x^v=y^u$ ho concluso che $x^v Ho poi risolto l'ultima disequazione e qui occorre confrontare $x$ ed $1$; in particolare:
- se $x>1$ ottengo $v - se $x<1$ ottengo $v>u$

[axpgn]

Ok, mi hai convinto

Cordialmente, Alex