Triangolo rettangolo

[axpgn]

Sia dato il triangolo $ABC$, retto in $\hatB$ e con i tre lati di misura intera.
La bisettrice dell'angolo $\hatB$ interseca $AC$ in $F$.
La perpendicolare condotta da $A$ su $BF$, la interseca in $E$.
Detto $G$ il punto medio dell'ipotenusa, la retta $GE$ interseca $AB$ in $D$.

Se $GE=49$, quanto valgono le misure dei lati del triangolo $ABC$ ?



Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Ho trovato una soluzione, ma scommetterei che non è l'unica.

ABE è un triangolo rettangolo con un angolo di 45° e perciò isoscele, quindi E sta sull'asse di AB. Ma anche G sta su questo asse, quindi D è il punto medio di AB e gli angoli in D sono retti. Perciò DBE è anch'esso la metà di un quadrato e si ha $DE=DB=(AB)/2$. Inoltre $DG=(BC)/2$ perché congiunge i punti medi di due lati. Quindi
$GE=|DE-DG|=(|AB-BC|)/2$
GE è intero, quindi AB e BC hanno la stessa parità; non possono essere entrambi dispari perché un triangolo pitagorico ha sempre almeno un cateto pari, quindi sono entrambi pari e lo è anche AC. Posto quindi $AB=2c; BC=2a; AC=2b$, ho $GE=|c-a|$ e bisogna trovare le soluzioni intere del sistema
${(|c-a|=49),(c^2+a^2=b^2):}$
Non riesco a risolverlo in generale, ma una soluzione particolare (trovata con un po' di fortuna) è $a=11; c=60, b=61$ e quindi $BC=22; AB=120; AC=122$.

[giammaria2]

Aggiungo qualche altra soluzione per i mezzi lati, ma potrebbero essercene altre ancora.

1) $a=49*3; c=49*4; b=49*5$
2) $a=7*5; c=7*12; b=7*13$
Il sistema è simmetrico in $a,c$, quindi vanno bene anche le soluzioni che scambiano fra loro queste incognite.

[axpgn]

Benissimo!

Un altro modo di procedere è questo ...

Fatte tutte le considerazioni geometriche che tu hai già esplicitato, si può osservare che il triangolo $ABC$ è un triangolo pitagorico e quindi possiamo supporre, per esempio, $BC=m^2-n^2$ e $AB=2mn$, da cui $AD=DE=mn$ e $(m-n)^2-2n^2=98$.
La soluzione "minima" (o minimale?) di questa diofantea si trova facilmente e dà, per l'appunto, $AB=22, BC=120, AC=122$.
Se invece si opta per $BC=2mn, AB=m^2-n^2$ allora si giunge a $(m-n)^2+98=2n^2$ che dà come soluzione minima $AB=208, BC=306, AC=370$.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Grazie. E noto che l'ultima soluzione da te indicata non corrisponde a nessuna delle mie, a conferma del fatto che ci sono altre soluzioni. Sarebbe interessante trovarle tutte; ci ho pensato ma non mi sembra né facile né breve.
Inoltre la tua soluzione permette di trovare le terne pitagoriche primitive ma non tutte quelle non primitive; ad esempio, non troveresti la terna (6,8,10) nenche se fosse una soluzione accettabile (non è il nostro caso).

[axpgn]

Wolfram trova un sacco di formule (risolutive) ma ho l'impressione che non siano tutte