Quanto vale \( \displaystyle \sqrt{x^2+y^2+1} \) ?

[Gi81]

Siano \( \displaystyle x,y \in \mathbb{R} \) tali che \[
\begin{cases}
x^2 = 17 x + y \\
y^2 = x + 17 y \\
x \neq y
\end{cases}
\] Quanto vale \( \displaystyle \sqrt{x^2+y^2+1} \) ?

[axpgn]

Sostituisco la $y$ dalla prima nella seconda ed ottengo $x^3-34x^2+272x+288=0$ (dopo aver semplificato $x$ che non può essere nulla per ipotesi).
Con qualche prova, noto che si può scomporre come $(x-18)(x^2-16x-16)$
La soluzione $18$ non va bene (sempre per l'ipotesi) mentre le altre due sì (che poi sarebbe una, doppia per simmetria) ovvero $x=8+-4sqrt(5)$
Sostituendo nella radice ottengo $sqrt((8+4sqrt(5))^2+(8-4sqrt(5))^2+1)=sqrt(64+80+64sqrt(5)+64+80-64sqrt(5)+1)=sqrt(289)=17$

Cordialmente, Alex

[Mephlip]

Sottraendo la seconda equazione alla prima si ha che $x^2-y^2=16(x-y)$, ossia $(x+y)(x-y)=16(x-y)$; essendo $x \ne y$, dividendo ambo i membri per $x-y$ segue che $x+y=16$.
Sommando le prime due equazioni, segue che $x^2+y^2=18(x+y)=18\cdot16$, pertanto $\sqrt{x^2+y^2+1}=\sqrt{18\cdot16+1}=\sqrt{289}=17$.

[Gi81]

axpgn e Mephlip
Bravi entrambi