Medie

[axpgn]

Dimostrare la seguente proposizione:

Se un lato di un triangolo è minore della media aritmetica degli altri due lati allora l'angolo opposto a questo lato è minore della media aritmetica degli altri due angoli.



Cordialmente, Alex

[Bokonon]

$2a $2a/sin(alpha)<1/sin(alpha)(b+c)$
$2ksin(alpha) $2ksin(alpha)/(sin(beta)sin(gamma))<(b+c)/(sin(beta)sin(gamma))=k(sin(gamma)+sin(beta))/(sin(beta)sin(gamma))$
$2sin(alpha) $sin(alpha)

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[axpgn]

Non mi è chiarissimo il tuo procedimento, potresti esplicitarlo un po' di più?
Per esempio, cosa è $k$ esattamente?

Tra l'altro, in generale, questa $sin((beta+gamma)/2)cos((beta-gamma)/2)<=sin((beta+gamma)/2)$ e questa $sin(alpha) alpha<(beta+gamma)/2$ non sono sempre vere.

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

"axpgn":
Non mi è chiarissimo il tuo procedimento, potresti esplicitarlo un po' di più?
Per esempio, cosa è $k$ esattamente?

Ho applicato il teorema del seno $a/sin(alpha)=b/sin(beta)=c/sin(gamma)=k$
Questo garantisce che $alpha$ sia esattamente l'angolo opposto al lato $a$ (come da richiesta).

"axpgn":
Tra l'altro, in generale, questa $sin((beta+gamma)/2)cos((beta-gamma)/2)<=sin((beta+gamma)/2)$ e questa $sin(alpha) alpha<(beta+gamma)/2$ non sono sempre vere.

Nel caso specifico la disuguaglianza regge perché $alpha+beta+gamma=pi rArr (beta+gamma)/2 Pertanto il seno è sempre positivo.
Per la medesima ragione $|(beta-gamma)/2|

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[axpgn]

Secondo me andava esplicitato il fatto che eravamo in un triangolo

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco la mia ...

$alpha<(beta+gamma)/2 => alpha<60° => cos(alpha)>1/2$

Quindi la tesi equivale a dimostrare $cos(alpha)>1/2$

$b+c>2a => b^2+2bc+c^2>4(b^2+c^2-2bc*cos(alpha)) => 8bc*cos(alpha)>3b^2+3c^2-2bc$

Sottraendo $4bc$ da entrambi i membri

$4bc(2cos(alpha)-1)>3(b-c)^2>=0$

da cui $2cos(alpha)-1>0 => cos(alpha)>1/2$

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

"axpgn":Secondo me andava esplicitato il fatto che eravamo in un triangolo

Dici che il testo del problema non è sufficientemente chiaro?