Equazione

[axpgn]

Quali sono le soluzioni in interi della seguente equazione?

$x^2+y^2+z^2=2xyz$


Cordialmente, Alex

[hydro1]

L'unica soluzione con $xyz=0$ è $(0,0,0)$, quindi possiamo supporre $xyz\ne 0$.

Chiaramente se $x,y,z$ sono tali che $x^2+y^2+z^2=2^kxyz$ per qualche $k\geq 1$ fissato, allora devono essere tutti pari oppure esattamente due di loro devono essere dispari. Ma in quest'ultimo caso $x^2+y^2+z^2\equiv 2 \mod 4$ mentre $2^kxyz\equiv 0 mod 4$, impossibile. Allora sono tutti pari. Sia $x=2^rx'$, $y=2^sy'$ e $z=2^sz'$ con $x',y',z'$ dispari e wlog $1\leq r\leq s\leq t$. Segue che $x'^2+2^{2(s-r)}y'^2+2^{2(t-r)}z'^2=2^{1+s+t-r}x'y'z'$. Ora se $s>r$ lhs è dispari e rhs pari, assurdo. Allora $r=s$. Se $t>r$, allora rhs è $0$ modulo $4$ e lhs è $2$ modulo $4$, assurdo. Allora $t=s=r$. Il che ci porta a $x'^2+y'^2+z'^2=2^{k+r}x'y'z'$, e come notato sopra $x',y',z'$ devono essere tutti pari, assurdo. Quindi l'unica soluzione è $(0,0,0)$.

[axpgn]

Perfetto!

A parte una $t$ che manca

Cordialmente, Alex